包含与排除(讲师版)_五升六年级数学奥数讲义

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学科培优 数学
“包含与排除”
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知识定位
包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中
都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非
常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目
是历年考察的重点。
知识梳理
一、容斥原理公式
1、若已知 A、B、C三部分的数量（如图），其中 C为重复
部分，则图中的数量等于 A+B-C.
即：A∪B=A+B- A∩B，其中 A∩B=C.
2、若已知 A、B、C三部分的数量（如图）， 则图中的数量
等于 A+B+C-（A与B重叠部分+ B 与C重叠部分+ C 与A重叠部
分）+A、B、C三者重叠的部分.
即：A∪B∪C=A+B+C-（A∩B+B∩C+C∩A）+ A∩B∩C.
以上概念中符号解释：
“∪”表示并集，“A∪B”表示 A并B，通俗的讲表示所有或属于 A、或属于
B的元素的
数量（集合），“A∪B∪C” 通俗的讲表示所有或属于 A、或属于 B、或属于
C的元素数量.
“∩”表示交集，“A∪B”表示 A交B，通俗的讲表示所有即属于 A、又属于
B的元素的
数量（集合），“A∩B∩C”通俗的讲表示所有即属于 A，又属于 B，还属于 C
的元素数量
C
B
A
C
A
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例题精讲
【试题来源】
【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，
有12 人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
【答案】45
【解析】如右图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加
数学兴趣小组的人，A与B重合的部分 C(阴影部分)表示同时参加两个
小组的人。图中 A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加
数学兴趣小组的人，有 28-12＝16(人)；图中 B圆不含阴影的部分表示
只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有 29-12＝17(人)。
（法 1）由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16＋12＋17＝45(人)。
（法 2）根据包含排除法，直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的
人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人=28＋29- 12＝45(人)。直接套用公式必须
建立在对公式有一定程度的了解之上，28+19 直接将参加语文兴趣小组的人数和参加数学兴
趣小组的人数简单相加，这个和中两个小组都参加的人数被重复计算了两次，所以后边还要
减去一次两个小组都参加的人数.
【知识点】包含与排除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），
它们的面积都是 100cm2，并知 A、B两圆重叠的面积是 20cm2，A、C两圆
重叠的面积为 45cm2，B、C两圆重叠的面积为 31cm2,三个圆共同重叠的
面积为 15cm2，求盖住桌子的总面积。
【答案】219
【解析】法一：直接套用公式：100×3-20-45-31+15=219cm2.套用公式必须在理解公式的基
础上运用，A、B、C三个圆的面积各包含了四块面积，例如 A覆盖的部分包括，A与B共有
而C没有的；A与C共有而 B没有的、A、B、C三个圆共有的、A独有的.这样如果将 A、B、
C的面积简单相加，A与B共有而 C没有的、B与C共有而 A没有的、A与C共有而 B没有
的这三个部分被重复计算了 2次，A、B、C三个部分的共有部分则被计算了 3次，如果再将
A、C两圆重叠的；B、C两圆重叠的；A、B两圆重叠的部分各减去一遍，那么同时 A、B、C
三个部分的共有部分则被减了 3次，此时得到的结果中 A、B、C三个部分的共有部分没有
被计算过，所以最后还要将这一部分加上.
法二：分别计算各区块的面积，A与B共有而 C没有的=20-15=5 cm2，B与C共有而 A没有
的=31-15=16 cm2，A与C共有而 B没有的=45-15=30 cm2. A 独有的=100-5-30-15=50 cm2，
B独有的=100-16-5-15=64 cm2，C独有的 100-30-16-15=39 cm2. 盖住桌子的总面积
=15+5+16+30+50+64+50+39=219 cm2,事实上如果我们实现没有将各个区块算出来的话，盖住
桌子的总面积=15+（20-15）+（31-15）+（45-15）+（100-15-（20-15）-（45-15））+（100-
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15-（20-15）-（31-15））+（100-15-（36-15）-（45-15））=100×3-20-45-31+15=219 cm2.
【知识点】包含与排除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】东方大学有外语老师 120 名，其中教英语的有 50 名，教日语的 45 名，教法语的有
40 名，有 15 名教师既教英语又教日语，有 10 名教师既教英语又教法语，有 8名教师既教
日语又教法语，有 4名教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少
名？
【答案】14
【解析】先求出教这三门外语的外教人数，然后从外教总人数中减去那一部分的人书，
即得到 120-(50+45+40-15-10-8+4)=14 名.
【知识点】包含与排除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】五年级三班有 46 名学生参加三项课外活动，其中 24 人参加了绘画小组，20 人参
加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 3.5 倍，又是
三项活动都参加人数的 7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人
数的 2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有 10 人，求参加朗诵小组的人数。
【答案】21
【解析】设三项都参加的人数有 X人，则参加朗诵小组的人数为 7X 人，参加绘画小组又
参加朗诵小组的人数为 2X 人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为 2X 人，于是有 46=
（24+20+7X-
2X-2X-10+X），解得 X=3,所以参加朗诵小组的人数为 21 人。
【知识点】包含与排除
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
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摘要：

学科培优数学“包含与排除”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。知识梳理一、容斥原理公式1、若已知A、B、C三部分的数量（如图），其中C为重复部分，则图中的数量等于A+B-C.即：A∪B=A+B-A∩B，其中A∩B=C.2、若已知A、B、C三部分的数量（如图），则图中的数量等于A+B+C-（A与B重叠部分+B与C重叠部分+C与A重叠部分）+A、B、C三者重叠的部分.即...

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