包含与排除(学生版)_五升六年级数学奥数讲义

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学科培优数学

“包含与排除”

学生姓名授课日期

教师姓名授课时长

知识定位

包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试

中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一

个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合

性题目是历年考察的重点。

知识梳理

一、容斥原理公式

1、若已知 A、B、C 三部分的数量（如图），其中 C 为重

复部分，则图中的数量等于 A+B-C.

即：A∪B=A+B- A∩B，其中 A∩B=C.

2、若已知 A、B、C 三部分的数量（如图），则图中的数

量等于 A+B+C-（A 与 B 重叠部分+ B 与 C 重叠部分+ C 与 A 重叠

部分）+A、B、C 三者重叠的部分.

即：A∪B∪C=A+B+C-（A∩B+B∩C+C∩A）+ A∩B∩C.

以上概念中符号解释：

“∪”表示并集，“A∪B”表示 A 并 B，通俗的讲表示所有或属于 A、或属

于 B 的元素的

数量（集合），“A∪B∪C” 通俗的讲表示所有或属于 A、或属于 B、或属

于 C 的元素数量.

“∩”表示交集，“A∪B”表示 A 交 B，通俗的讲表示所有即属于 A、又属

于 B 的元素的

数量（集合），“A∩B∩C”通俗的讲表示所有即属于 A，又属于 B，还属

于 C 的元素数量

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例题精讲

【试题来源】

【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，

有12 人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

【试题来源】

【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），

它们的面积都是 100cm2，并知 A、B两圆重叠的面积是

20cm2，A、C两圆重叠的面积为 45cm2，B、C两圆重叠的面积为

31cm2,三个圆共同重叠的面积为 15cm2，求盖住桌子的总面积。

【试题来源】

【题目】东方大学有外语老师 120 名，其中教英语的有 50 名，教日语的 45 名，教法语

的有 40 名，有 15 名教师既教英语又教日语，有 10 名教师既教英语又教法语，有 8名教

师既教日语又教法语，有 4名教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教

有多少名？

【试题来源】

【题目】五年级三班有 46 名学生参加三项课外活动，其中 24 人参加了绘画小组，20 人

参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 3.5 倍，

又是三项活动都参加人数的 7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参

加人数的 2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有 10 人，求参加朗诵小组的人数。

【试题来源】

【题目】求在 1至100 的自然数中能被 3或7整除的数的个数。

【试题来源】

【题目】在1到2004 的所有自然数中，既不是 2的倍数，也不是 3、5的倍数的数有多

少个？

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摘要：

学科培优数学“包含与排除”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。知识梳理一、容斥原理公式1、若已知A、B、C三部分的数量（如图），其中C为重复部分，则图中的数量等于A+B-C.即：A∪B=A+B-A∩B，其中A∩B=C.2、若已知A、B、C三部分的数量（如图），则图中的数量等于A+B+C-（A与B重叠部分+B与C重叠部分+C与A重叠部分）+A、B、C三者重叠的部分.即...

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