不定方程与整数拆分(讲师版)_五升六年级数学奥数讲义

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不定方程与整数拆分
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知识定位
不定方程，简单地说，可以用一句话概括，即方程的数量小于未知数的数
量。严格地说，不定方程是对解有一定限制的方程，属于数论的范畴，更
准确地说法是数论的分支。与现实联系比较密切，经常应用于各种优化方
案中。也是数学领域研究的重要课题之一。整数拆分方法和方式也有很多，哪
一种是符合条件的数在题目中再具体研究。
知识梳理
1、解不定方程的 4 个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解
2、重点难点解析
（1）.判断不定方程何时有解。
（2）.不定方程解的个数。
（3）.解不定方程及不定方程组。
（4）.整数拆分的方法和技巧。
3、竞赛考点挖掘
因其题型的局限性，解题技巧更是类似于余数整除问题，因此近两年来，杯赛
很少涉及,因此对于杯赛来讲，不做重点讲解。整数拆分的思路和想法经常运用
到小升初考试、杯赛中。重点讲解！
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例题精讲
【试题来源】
【题目】
装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装 11 个，小盒每盒装 8 个，要把 89 个产品装入
盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？
【答案】大盒 3 个，小盒子 7 个
【解析】
设需要大盒
x
个，小盒
y
个，可列方程得
11 8 89x y 
因为盒子的数量只能为自然数，
所以解得
3
7
x
y
即需要大盒 3 个，小盒子 7 个。
【知识点】不定方程与整数拆分
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
有 100 个同学去操场踢足球、打排球和打篮球，每个足球场地 22 人，每个排球场地 12 人，
每个篮球场地 10 人，他们共占了 8 个场地。问：其中足球场、排球场和篮球场各几个？
【答案】足球场 1 个，排球场 4 个，篮球场 3 个
【解析】
设足球场
x
个，排球场
y
个，篮球场
z
个，可列方程得
解得
1
4
3
x
y
z
所以足球场 1 个，排球场 4 个，篮球场 3 个。
【知识点】不定方程与整数拆分
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
互联网知名教育资料文库 【www.7cm.cn】
【试题来源】
【题目】
某地收取电费的标准是：若每月用电不超过 50 千瓦时，则每千瓦时收 5 角；若超过 50 千瓦
时，则超出部分按每千瓦时 8 角收费。某月甲用户比乙用户多交 3 元 3 角电费，这个月甲、
乙各用了多少千瓦时电？
【答案】51，45
【解析】
根据题意可知，因为 3 元 3 角既不是 5 角的整数倍，也不是 8 角的整数倍。所以甲用的电
超过 50 千瓦时，乙用的电没有超过 50 千瓦时，设甲用的电超过 50 千瓦时的部分为
x
千瓦
时电，乙用的电与 50 千瓦时相差
y
千瓦时电，可列方程得
8 5 33x y 
解得
1
5
x
y
所以甲用了 50+1=51（千瓦时）的电，乙用了 50-5=45（千万时）的电。
【知识点】不定方程与整数拆分
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
某次数学竞赛准备了 22 支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每
人发 6 支，二等奖每人发 3 支，三等奖每人发 2 支。后来又改为一等奖每人发 9 支，二等奖
每人发 4 支，三等奖每人发 1 支。问：获一、二、三等奖的学生各几人？
【答案】一等奖 1 人，二等奖 2 人，三等奖 5 人
【解析】
根据题意，设一等奖
x
人，二等奖
y
人，三等奖
z
人，可列方程得
6 3 2 22
9 4 22
x y z
x y z
 
 
解得
1
2
5
x
y
z
所以，一等奖 1 人，二等奖 2 人，三等奖 5 人。
【知识点】不定方程与整数拆分
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
互联网知名教育资料文库 【www.7cm.cn】
摘要：

不定方程与整数拆分学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位不定方程，简单地说，可以用一句话概括，即方程的数量小于未知数的数量。严格地说，不定方程是对解有一定限制的方程，属于数论的范畴，更准确地说法是数论的分支。与现实联系比较密切，经常应用于各种优化方案中。也是数学领域研究的重要课题之一。整数拆分方法和方式也有很多，哪一种是符合条件的数在题目中再具体研究。知识梳理1、解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解2、重点难点解析（1）.判断不定方程何时有解。（2）.不定方程解的个数。（3）.解不定方程及不定方程组。（4）.整数拆分的方法和技巧。3、竞赛考点挖掘因其题型的局限...

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