抽屉原理(讲师版)_五升六年级数学奥数讲义

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抽屉原理

学生姓名

授课日期

教师姓名

授课时长

知识定位

1．充分理解和掌握抽屉原理的基本概念

2．运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题

本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，因为所与这个知识点的变形很多，与

其他知识点的结合类型也很多。

知识梳理

一．抽屉原理的概念

①举例：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的

抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我

们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

②定义：一般情况下，如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个

元素，假如有 n＋1 或多于 n＋1 个元素放到 n 个集合中去，其中必定至少有一个

集合里至少有两个元素。我们称这种现象为抽屉原理。

集合：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集

合。

元素：集合中各事物叫做集合的元素。

二.抽屉原理的分类

抽屉原理一：将 n+1 个元素放到 n 个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个

抽屉至少有两个元素．

抽屉原理二：将 nr+1 个元素放到 n 个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽

屉至少有 r+1 个元素．

抽屉原理三：将 m 个元素放到 n 个抽屉中去(m≥n)，则无论怎么放，必定有一个

抽屉至少有



  

 

 

个元素．

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例题精讲

【试题来源】

【题目】

证明：在从 1 开始的前 10 个奇数中任取 6 个，一定有 2 个数的和是 20.

【答案】见解析

【解析】

将 10 个奇数分为五组(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取 6 个必有两个

奇数在同一组中，这两个数的和为 20.

【知识点】抽屉原理

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

从 1，2，3，…，2007，2008 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每

两个数的差都不等于 4？

【答案】1004

【解析】

1，2，3，4，9，10，1l，12，17，18，19，20，25，…，

这些数中任何两个数的差都不为 4，这些数是每 8 个连续的数中选取前 4 个连续的数．

有 2008÷8=251，即 8 人一组，有 251 组，

所以答案为 251×4=1004(个)

【知识点】抽屉原理

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

从 1 至 1993 这 1993 个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差

不等于 4？

【答案】797

【解析】

1，3，6，8，11，13，16，18，21，…，

这些数中任何两个数不连续且差不等于 4，这些数是每 5 个连续的数中选择第 1、3 个数．

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1993÷5=398……3.

所以最多可以选 398×2+2=798 个数．

当然还可以是 1，4，6，9，11，14，16，19，21，…，

这些数满足条件，是每 5 个连续的数中选择第 1、4 个数．

但是此时最多只能选出 398×2+l=797 个数．

【知识点】抽屉原理

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】

从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 中最多能选出几个数，使得在选出的数中，

每一个数都不是另一个数的 2 倍?

【答案】8

【解析】

方法一：直接从 1 开始选 1，3，4，5，7，9，11，12，这样可以选出 8 个数；而从 2 开始

选 2，3，5，7，8，9，11，12，这样也是可以选出 8 个数．3 包含在组内，因此只用考虑

这两种情况即可．所以，在满足题意情况下，最多可以选出 8 个数．

方法二：我们知道选多少个奇数均满足，有 1，3，5，7，9，11 均为奇数，并且有偶数中 4

的倍数，但不是 8 的倍数的也满足，有 4，12 是这样的数．所以，在满足题意情况下最多

可以选出 8 个数．

【知识点】抽屉原理

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

从 1，3，5，7，…，97，99 中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是

另一个数的倍数?

【答案】33

【解析】

方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是 3、5、7 等奇数倍.3×33：

99，于是从 35 开始，1～99 的奇数中没有一个是 35～99 的奇数倍(不包括 1 倍)，所以选出

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摘要：

抽屉原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位1．充分理解和掌握抽屉原理的基本概念2．运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，因为所与这个知识点的变形很多，与其他知识点的结合类型也很多。知识梳理一．抽屉原理的概念①举例：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。②定义：一般情况下，如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。...

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