等积变换、切割、平移、旋转(讲师版)_五升六年级数学奥数讲义

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学科培优数学

等积变换、切割、平移、旋转

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知识定位

本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华，等积变换试平面几何

的基础，解决三角形问题几乎无处不在，切割、平移、旋转是解决个性问题

的个性思想，在几何中举足轻重，能使复杂的问题巧妙化解。所以本讲是非

常重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

重点难点：

1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。

2．化未知图形为已知图形。

3. 合理做辅助线

4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围

主要考点：

1. 面积和边的比例关系

2. 利用平移、旋转解复杂问题

知识梳理

常见图形面积的解题方法

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但

是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变

为原来的 3 倍，底变为原来的 1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一

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个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变

化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同

的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

1、等底等高的两个三角形面积相等．

2、若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么

这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么

这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

3、夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，

ACD

和

BCD

夹在一组平行线之间，且有公共底边

那么

BCDACD SS  

；

反之，如果

BCDACD SS  

，则可知直线

平行于

。

4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。

例题精讲

【试题来源】

【题目】三个正方形 ABCD，BEFG，HKPF 如图所示放置在一

起，图中正方形 BEFG 的周长等于 14 厘米。求图中

阴影部分的面积。

【答案】12.25(平方厘米)

【解析】

如图，连接 KF，EG，BD。设 KG，EF 相交于 O，DE，

BG 相交于 V，由 KF∥EG∥BD，

S△KEG=S△FGE，S△DEG=S△BGE。

设阴影阴影的面积为 S,则 S= S△KGE+ S△DEG= S△FGE+ S△

BGE= SBEFG

正方形 BEFG 的周长为 14 厘米，边长为 3.5 厘米。

所以 SBEFG=3.52=12.25(平方厘米)

【知识点】等积变换、切割、平移、旋转

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1



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【试题来源】

【题目】在平行四边形 ABCD 中，AC 为对角线，EF 平行

AC。如果三角形 AED 的面积为 10 平方厘米，求三角形

CDF 的面积。

【答案】10 平方厘米

【解析】

既然是求三角形的面积，我们就应该利用“三角形”等

底等高面积相等这一知识。

通过连接 AF 和 CE，可以看出，

又因为

所以

所以三角形 CDF 和三角形 AED 的面积相等，都是 10 平方厘米。

【知识点】等积变换、切割、平移、旋转

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】如图（1），ABCD 是一长方形纸片，把它的左下角沿虚线 EC 折叠过去成图（2），

AE 恰好是 AD 的 1/4，三角形 CDE 面积是 27，三角形 AHE 面积是 3，三角形 BCG 面积是

16，问三角形 DGH（阴影部分）的面积是多少？

【答案】1

【解析】

如图（2），红色三角形的面积是 27，则有 27+27+3+16-72=1

【知识点】等积变换、切割、平移、旋转

【适用场合】当堂例题

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摘要：

学科培优数学等积变换、切割、平移、旋转学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华，等积变换试平面几何的基础，解决三角形问题几乎无处不在，切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想，在几何中举足轻重，能使复杂的问题巧妙化解。所以本讲是非常重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。重点难点：1.等积变换中等地等高三角形的寻找。2．化未知图形为已知图形。3.合理做辅助线4.平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1.面积和边的比例关系2.利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可...

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