容斥原理(讲师版)_五升六年级数学奥数讲义

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容斥原理

学生姓名

授课日期

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授课时长

知识定位

容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。这个知识点经常和

数论知识结合出综合型题目。这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知

识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。

1. 充分理解和掌握容斥原理的基本概念

2. 利用图形分析解决容斥原理问题

知识梳理

授课批注：

本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数

论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。

一.容斥原理的概念

定义

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集 A

的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数

相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素

个数，

用式子可表示成： |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，

我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。图示如右:A

表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，

记为：A∩B，即阴影面积。

用法：

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B的并集 A∪B的元素的个数，

可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合 A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是

把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C=|A∩B|（意思是“排除”

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了重复计算的元素个数）

二.竞赛考点

1. 容斥原理的基本概念

2. 与数论相结合的综合型题目

例题精讲

【试题来源】

【题目】

在一个炎热的夏日，10 个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中 6人买了汽水，6人买了可

乐，4人买了果汁，有 3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买

了可乐又买了果汁。问：

(1)三样都买的有几人？

(2)只买一样的有几人？

【答案】0,4

【解析】(1)设三样都买的学生有 a人，那么 6+6+4-3-1-2+a=10，解得 a=0，所以没有人三种

东西都买了.

(2) 去冷饮店的学生中除了买一样的外，只有买两样东西的，因为买两样东西的有

3+1+2=6(人)，所以买一样东西的学生有 10-6=4(人).

【知识点】容斥原理

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】某班有学生 46 人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的 22

人，两种琴都没有的 14 人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是 5∶3。问：只有电子

琴的有多少人？

【答案】8

【解析】46 人中除去有电子琴的 22 人，剩下的 24 人不是两种琴都没有，就是只有小提琴，

所以只有小提琴的人数为 24-14=10 人，所以两种琴都有的人数为 10×3÷5=6 人，所以只有

电子琴的人数为 14-6=8 人.

【知识点】容斥原理

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】以 105 为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？

【答案】48 24

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【解析】以 105 为分母的最简真分数的分子与 105 互质，105=3×5×7，所以也是求 1 到 105

不是 3、5、7 倍数的数有多少个，3 的倍数有 35 个，5 的倍数有 21 个，7 的倍数有 15 个，

15 的倍数有 7 个，21 的倍数有 5 个，35 的倍数有 3 个，105 的倍数有 1 个，所以 105 以内

与 105 互质的数有 105-35-21-15+7+5+3-1=48 个，显然如果 n 与 105 互质，那么（105-n）

与 n 互质，所以以 105 为分母的 48 个最简真分数可两个两个凑成 1，所以它们的和为 24.

【知识点】容斥原理

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】一次数学测验，甲答错题目总数的，乙答错 3道题，两人都答错的题目是题目总数

的。求甲、乙都答对的题目数.

【答案】8

【解析】(法一)设共有 n道题。由右图知 d即为所求，并有关系式

(1)

3(2)

(3)

a c

c b

 



 









由①③知,n 是4和6的公倍数，即 12 的倍数。将③代入②，有

b 

，由于 b是非负

整数，所以 n=12，由此求出 c=2，b=1，a=1.又由 a+b+c+d=n，得到 d=n-（a+b+c)=8

（法二）显然两人都答错的题目不多于 3道，所以题目总数只可能是 6、12、18，其中只有

12，能使甲答错题目总数是整数.

【知识点】容斥原理

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

某班有 40 名学生，其中有 15 人参加数学小组，18 人参加航模小组，有 10 人两个小组都参

加．那么有多少人两个小组都不参加?

【答案】17

【解析】至少参加一个小组的同学有 15+18-10=23 人，所以有 40-23=17 人两个小组都不参

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摘要：

1容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。一.容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，...

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