容斥原理(学生版)_五升六年级数学奥数讲义
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容斥原理
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。这个知识点经常
和数论知识结合出综合型题目。这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数
论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。
1. 充分理解和掌握容斥原理的基本概念
2. 利用图形分析解决容斥原理问题
知识梳理
授课批注：
本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数
论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念
定义
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用 |A|表示有限集
A的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素
个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集
的元素个数，
用式子可表示成： |A B| = |A| + |B| - |A∩B|∪，
我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。图示如右 :
A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共
部分，记为：A∩B，即阴影面积。
用法：
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A、B的并集 A B∪的元素的个数，
可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合 A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是
把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C=|A∩B|（意思是“排
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除”了重复计算的元素个数）
二.竞赛考点
1. 容斥原理的基本概念
2. 与数论相结合的综合型题目
例题精讲
【试题来源】
【题目】
在一个炎热的夏日，10 个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中 6人买了汽水，6人买了
可乐，4人买了果汁，有 3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既
买了可乐又买了果汁。问：
(1)三样都买的有几人？
(2)只买一样的有几人？
【试题来源】
【题目】某班有学生 46 人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的
22 人，两种琴都没有的 14 人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是 5 3∶ 。问：只有
电子琴的有多少人？
【试题来源】
【题目】以 105 为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？
【试题来源】
【题目】一次数学测验，甲答错题目总数的
1
4
，乙答错 3道题，两人都答错的题目是题目
总数的
1
6
。求甲、乙都答对的题目数.
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摘要：
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容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。一.容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不...
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