燕尾定理(讲师版)_五升六年级数学奥数讲义

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学科培优 数学
燕尾定理
授课日期
授课时长
知识定位
燕尾定理主要考察在三角形中，图形比例的问题，是五大模型中
较困难的模型，该模型与蝴蝶，风筝，鸟头等定理的混合运用需
要学生对基本模型非常熟悉。而实际上这几类基本模型都是可以
相互转化的，能用燕尾的题一定能用鸟头和蝴蝶。
重点难点
1. 燕尾定理四种基本模型。
2 燕尾定理联系到整个图形面积与部分的关系
主要考点：1．通过面积比求图形中某些线段的长度比。
2．通过各部分面积的差求整个图形的面积
知识梳理
燕尾定理
两个有公共边的三角形
ABD
和
ABC
，
ABC
与
DC
交于点
M
，则三角形
ABC
的面积
与三角形
ABD
的面积之比等于
CM
与
DM
的比。（定理描述对下图所示四种图形
都成立）
互联网知名教育资料文库 【www.7cm.cn】
例题精讲
【试题来源】
【题目】
如图，已知 BD=DC，AE=EB，三角形 AFC 的面积是 30，求三角形 A BC 的面积。
【答案】90
【解析】连结 BF
由燕尾定理
三角形 S△ABF: S△ACF=BD:DC=1：1
三角形 S△ABF: S△BCF=AE:BE=1：1
所以 S△ABF=S△ACF=S△BCF=1/3 S△ABC
S△ABC=3 S△ACF=90
．
【知识点】燕尾定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】已知 BD=DC，EC=2AE，三角形 AEF 的面积是 10，求三角形 ABC 的面积。
【答案】150
【解析】连结 CF 则由燕尾定理
三角形 S△ABF: S△ACF=BD:DC=1：1
三角形 S△ABF: S△BCF=AE:EC=1：2
所以 2S△ABF=2S△ACF=S△BCF
在三角形 ACF 中，有 EC=2AE，S△AEF=1/3 S△AFC=1/15 S△ABC
S△ABF=15×10=150
【知识点】燕尾定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
A
B
C
D
E
F
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B
C
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A
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F
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A
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【题目】如右图，已知 BD=DC，EC=2AE，三角形 ABC 的面积是 36，求阴影部分面积。
【答案】6
【解析】连结 EC 由燕尾定理
三角形 S△ABF: S△ACF=BD:DC=1：1
三角形 S△ABF: S△BCF=AE:EC=1：2
所以 2S△ABF=2S△ACF=S△BCF，
在三角形 ACF 中，有 EC=2AE，S△CEF=2/3 S△AFC=2/15 S△ABC
在三角形 BCF 中，有 DC=BD，S△BCF=1/2S△BFC=1/10 S△ABC
阴影部分的面积= S△CEF+ S△BCF=2/15 S△ABC+1/10 S△ABC=1/6 S△ABC
S△ABC=6
【知识点】燕尾定理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在△ABC 中
DC
BD
=2:1,
EC
AE
=1:3，求
OE
OB
=?
【答案】8:1.
【解析】题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三
角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法。
本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图，但 2 个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所
以第一步我们要连接 OC。
连接 OC
因为 AE:EC=1:3 (条件)，所以 S△AOE/S△COE=1:3 若设 S
△AOE=x,则 S△COE=3x，所以 S△AOC=4x,
根据燕尾定理 S△AOB/ S△AOC=BD/DC=2:1，
所以 S△AOB=8x，所以 BO/OE=S△AOB/S△AOE=8x/x=8:1。
A
E
F
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B
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摘要：

MDCBAMDCBAMDCBAMDCBA学科培优数学燕尾定理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位燕尾定理主要考察在三角形中，图形比例的问题，是五大模型中较困难的模型，该模型与蝴蝶，风筝，鸟头等定理的混合运用需要学生对基本模型非常熟悉。而实际上这几类基本模型都是可以相互转化的，能用燕尾的题一定能用鸟头和蝴蝶。重点难点1.燕尾定理四种基本模型。2燕尾定理联系到整个图形面积与部分的关系主要考点：1．通过面积比求图形中某些线段的长度比。2．通过各部分面积的差求整个图形的面积知识梳理燕尾定理两个有公共边的三角形ABD和ABC，ABC与DC交于点M，则三角形ABC的面积与三角形ABD的面积之比等于CM...

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