初一数学暑假讲义 第9讲.不等式和不等式组.学生版

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定 义 示例剖析
不等式的概念：用不等号连接的式子叫
不等式．不等号包括：“ ”、“ ”、“
”、“ ”、“ ”．
， ， ，
， ， 等
基本性质 1：不等式两边都加上（或减
去） 同一 个数 （或 式子 ）， 不等 号方 向不
变．
若 ，则
若 ，则
基本性质 2：不等式两边都乘以（或除
以）同一个正数，不等号的方向不变．
若 ， 且 ， 则 或
若 ， 且 ， 则 或
基本性质 3：不等式两边都乘以（或除
以）同一个负数，不等号的方向改变．
若 ， 且 ， 则 或
若 ， 且 ， 则 或
不等式具有互逆性 若 ，则 ；
若 ，则 ．
不等式具有传递性 若 ， ，则 ．
注意：⑴ 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．
⑵ 在不等式两边都乘以０，不等式变为等式.
以不等式 为例，在不等式 两边都乘同一个数 时，有下面三种情
形：
① 如果 ，那么 ；
② 如果 时，那么 ；
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模块一 不等式的定义和性质
9
9
不等式和不等式组
不等式和不等式组
③ 如果 时，那么 ．
不等式的性质与等式性质的对比：
等式的性质 不等式的性质
两边都加上（或减去）同一个数或同一个
式子，所得结果仍是等式.
两边都加上（或减去）同一个数或同一
个式子，不等号的方向不变.
两边都乘以（或除以）同一个数（ 除数不
能是０），所得结果，仍是等式．
两边都乘以（或除以）同一个正数，不
等号的方向不变.
两边都乘以（或除以）同一个负数，不
等号的方向改变.
根据等式性质，方程两边可以乘以０，但
不能除以０.
在不等式两边都乘以０，不等式变为等
式.
【例1】⑴ 用不等式表示数量的不等关系．
① 是正数 ② 是非负数
③ 不比 0大 ④ 与 的差是负数
⑤ 的相反数不大于 1 ⑥ 的相反数与 的一半的差不是正数
⑵ 例：如果 ，则 ，
是根据 不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变 ；
① 如果 ，
则 ，是根据 ；
② 如果 ，
则 ，是根据 ；
③ 如果 ，
则 ，是根据 ；
④ 如果 ，
则 ，是根据 ．
【例2】⑴ 设 ， ， 都是实数，且满足：用 去乘不等式的两边，不等号方向不变；用
去
除不等式的两边，不等号方向改变；用 去乘不等式的两边，不等号要变成等号．
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夯实基础
能力提升
则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 如果 ，则下列各式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
（北京五中期中）
⑶ 若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C． D．
（北京师范大学附属实验中学期中）
【巩固】根据 ，则下面哪个不等式不一定成立（ ）
A． B． C． D．
定 义 示例剖析
一元一次不等式：类似于一元一次方
程，含有一个未知数，未知数的次数是 1 的
不等式，叫作一元一次不等式.
， ，
一元一次不等式标准形式：经过去分
母、去括号、移项、合并同类项等变形后，
能化为 或 的形式（其中 ）.
， 等都是一元一次不等
式的标准形式
不等式的解：使不等式成立的每一个未
知数的值叫作不等式的解．
， ， ， ， 都 是 不 等 式
的解，当然它的解还有许多．
不等式的解集：能使不等式成立的所有
未知数的集合，叫作不等式的解集．一般不
等式的解集是一个范围，在这个范围内的每
一个值都是不等式的解．不等式的解集可以
用数轴来表示．
是 的解集；
是 的解集
解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成 或
形式）→系数化为 （化成 或 的形式）．
不等式的解与不等式解集的区别与联系：
不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的
未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式
的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．
在数轴上表示不等式的解集（示意图）：
不等式的解集 在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图
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模块二 一元一次不等式
摘要：

定义示例剖析不等式的概念：用不等号连接的式子叫不等式．不等号包括：“”、“”、“”、“”、“”．，，，，，等基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．若，则若，则基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．若，且，则或若，且，则或基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若，且，则或若，且，则或不等式具有互逆性若，则；若，则．不等式具有传递性若，，则．注意：⑴在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．⑵在不等式两边都乘以０，不等式变为等式.以不等式为例，在不等式两边都乘同一个数时，有下面三种情形...

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