六年级上册数学试题-培优专题：容斥原理（教师版）全国通用

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容斥原理

[同步巩固演练]

1、大长方形的面积是 100 平方分米，小长方形的面积是 80 平方分米，两个长方形重

合部分的面积是 30 平方分米，这两个长方形覆盖桌面的面积是______________平

方分米。

2、1～200 这二百个数能够被 5整除或能够被 8整除的数共有（）个。

3、比大，比 7小，分母是 6的最简分数有多少个？

4、（新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题）

36 名学生参加数学比赛。答对第 1题的有 25 名学生，答对第二题有 23 名学生，两

题都答对的有 15 名学生，两题都没有答对的有（）名。

5、（新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题）

某班有 45 人在一次数学测验中，做对第一题的有 38 人；做对第二题的有 35 人；做

第三题的有 31 人，做对第四题有 42 人。问：四题都做对的至少有多少人？

6、如图。有三个圆的面积分别是 8，9和11 平方厘米，而三个圆所围成的曲线形面积

是18 平方厘米，且 A与B的公共部分的面积是 5平方厘米，B与C的公共部分的面积

是3平方厘米，C与A公共部分的面积是 4平方厘米。求三个圆的公共部分的面积。

7、有 40 名运动员，其中有 25 人会摔跤，有 20 人会击剑，有 10 人击剑、摔跤都不会，

那么既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？

8、一个数除以 3余2，除以 5余3，除以 7余2，这个数最小是多少？

[能力拓展平台]

1、外语学校某班有 48 名学生，每人至少要选学一门法语或计算机课程，已知有的

学生选学法语，有的学生同时选学了法语和计算机，则选学计算机课程的学生有多

少名？

2、在一次调查中，对 45 人作了统计，其中有弟弟的有 19 人，既无弟弟又无妹妹的

有14 人，有妹妹无弟弟的与有妹妹有弟弟的人数比是 3：1，问有妹妹的有多少

人？

3、某班 45 名同学参加了体育测试，其中百米得优者 20 人，跳远得优者 18 人，又知

百米、跳远均得优者 7人，跳高、百米均得优者 6人，跳高、跳远均得优者 8人，

跳高得优者 22 人，全班只有 1名同学各项都没达到优。求三项都是优的人数。

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4、如图所示，A、B、C分别代表面积为 8、9、11 的三张不同形状的纸片，它们重

叠放在一起盖住的面积是 18，且 A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是

5、3、4，求 A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。

5、某校对六年级的 100 名同学进行兴趣调查，结果有 54 人喜欢语文，有 38 人喜欢

数学，有 52 人喜欢外语，而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有 6人，喜欢

数学和外语（但不喜欢语文）的有 4人，三科都喜欢的有 12 人，而且每人至少喜

欢一科。问有多少同学只喜欢语文？有多少同学喜欢语文和外语。

[全讲综合训练]

1、一个班有 45 个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外

书，借语文课外书的有 39 人，借数学课外书的有 32 人。语文、数学两种课外书都

借的有_________人。

2、(美国小学数学奥林匹克竞赛试题)

从1到46 的整数中，能被 3整除，或能被 5整除或同时被 3和5整除的数有（

）人。

3、（韩国小学数学奥林匹克竞赛试题）

从1至100 的自然数中含有 5的数一共________________个。

4、有长8厘米，宽 6厘米的长方形与边长为 5厘米的正方形，如图，放在桌面上（阴

影是图形的重叠部分），那么这两个图形盖住桌面的面积是_____________平方厘

米。

5、某门诊部统计某一天挂号的病人，内科 150 人，外科 92 人，其中内、外两科都求

诊的 18 人，这一天共来了___________个病人。

6、在一次运动会中，甲班参加田赛的有 15 人，参加径赛的有 7人，没有参加比赛的

有21 人，那么甲班共有_________人。

7、（韩国小学数学奥林匹克竞赛试题）

分母是 385 的最简真分数有多少个？它们的和是多少？

8、边长为 2、5、6厘米的三个正方形，每两个相交部分的面积分别为 9、1、1平方厘

米三个正方形相交部分面积为平方厘米。问图形覆盖的总面积有多大？

9、某科研所共有 145 名科技人员，人人都学过至少一门外语。其中学过英语的有 90

人，学过俄语的 45 人；既学过英语又学过日语的 40 人；同时学过英、俄、日三门

外语的 30 人，问既然学过俄语又学过日语的有多少人？

10、70 名学生参加体育比赛，短跑得奖的 31 人，投掷得奖的 36 人，弹跳得奖的 29 人，

短跑与投掷二项均得奖的 12 人，跑、跳、投三项均得奖的有 5人，只得弹跳奖的有 7

人，只得投掷奖的有 15 人。

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求：（1）只得短跑奖的人数；

（2）得二项奖的总人数；

（3）一项奖均未得的人数。

10、五环图由内圆直径为 8、外圆直径为 10 的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边

（阴影部分）的面积都相等。已知五个圆环盖住部分的总面积是 122.5，求每个小

曲四边形的面积。

11、某班共有 30 名男生，其中 20 人参加足球队，12 人参加篮球队，10 人参加排球队，

已知没一个人同时参加 3个队，且每人至少参加一个队，有 6人既然参加足球队又

参加篮球队，有 2人既然参加篮球队又参加排球队，那么既然参加足球队又参加

排球队的有多少人？

13、（全国小奥赛试题）

某班有 50 名学生，参加语言竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 23 人，参加英语竞

赛的有 20 人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？

14、向50 名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体

的，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多 3人，其余的不赞成，

另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的多 1人，问对去颐和

园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？

15、（全国小奥赛试题）

有2000 盏亮着的电灯，各有一个拉线开头控制着，现按其顺序编号为 1，2，3，

…，2000，然后将编号为 2的倍数的灯线拉一下，再将编号为 3的倍数的灯线拉一下，最

后将编号为 5的倍数的灯线拉一下，三次拉完之后，亮着的灯有多少盏？

容斥原理参考答案

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容斥原理[同步巩固演练]1、大长方形的面积是100平方分米，小长方形的面积是80平方分米，两个长方形重合部分的面积是30平方分米，这两个长方形覆盖桌面的面积是______________平方分米。2、1～200这二百个数能够被5整除或能够被8整除的数共有（）个。3、比大，比7小，分母是6的最简分数有多少个？4、（新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题）36名学生参加数学比赛。答对第1题的有25名学生，答对第二题有23名学生，两题都答对的有15名学生，两题都没有答对的有（）名。5、（新加坡小学数学奥林匹克竞赛试题）某班有45人在一次数学测验中，做对第一题的有38人；做对第二题的有35人；做第三题的有31...

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