人教版六年级下册数学奥数讲义_构造与论证(讲师版)

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学科培优数学

“构造与论证”

学生姓名

授课日期

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授课时长

知识定位

各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着

眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最

佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又

要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和

不等式估计．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问

题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解

的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．

【授课批注】论证：天下乌鸦都是黑的。学生一定会说因为我看到的乌鸦都是黑

的，所以天下乌鸦都是黑的！这样说明问题是不可以的。但是，如果我能看到一

只白乌鸦，从而可以说明天下乌鸦不全是黑的。这种方法叫做举反例法，是很有

说服力的一种方法！

知识梳理

【重点难点解析】

1.如何分类讨论及讨论结果的全面性。

2.与抽屉原理、数论、估算相结合的综合题。

3.如何设计最佳方案和选择最佳方案。

【竞赛考点挖掘】

1. 迎春杯、华杯中经常出现。

互联网知名教育资料文库【www.7cm.cn】

2. 与其他知识点相结合的综合性题目。

【授课批注】

小升初的考试中不会涉及到，但在杯赛中经常出现，尤其是迎春杯，华杯！所以，

考杯赛的学生应着重学习。

例题精讲

【试题来源】

【题目】5 卷本百科全书按从第 1 卷到第 5 卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，

即从第 5 卷到第 1 卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

【答案】10

【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第 5 卷调至原来第 1 卷的位置最少需 4 次，得到的

顺序为 51234；

现在将第 4 卷调至此时第 l 卷的位置最少需 3 次，得到的顺序为 54123；

现在将第 3 卷调至此时第 l 卷的位置最少需 2 次，得到的顺序为 54312；

最后将第 l 卷和第 2 卷对调即可．

所以，共需调换 4+3+2+1=10 次．

【知识点】构造与论证

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】在 1997×1997 的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，

与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如

果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

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【答案】1997

【解析】最少要 1997 次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改

变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变 1997 次状态，由不亮变亮．如果少

于 1997 次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持

原状，即不亮的状态．

【知识点】构造与论证

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按 l，2，3，4，…依

次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有

15 台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有 9 台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比

赛时，男、女生对垒的台数不会超过 24．并指出在什么情况下，正好是 24 ？

【答案】见解析

【解析】不妨设甲、乙比赛时，1～15 号是男女对垒，乙、丙比赛时．在 1～15 号中有 a 台

男女对垒，15 号之后有 9-a 台男女对垒(0≤a≤9)

甲、丙比赛时，前 15 号，男女对垒的台数是 15-a(如果 1 号乙与 1 号丙是男女对垒，那么 1

号甲与 1 号丙就不是男女对垒)，15 号之后，有 9-a 台男女对垒.所以甲、丙比赛时，男女

对垒的台数为 15-a+9-a=24-2a≤24．仅在 a=0，即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与

甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于 24．

【知识点】构造与论证

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将

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摘要：

学科培优数学“构造与论证”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．【授课批注】论证：天下乌鸦都是黑的。学生一定会说因为我看到的乌鸦都是黑...

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