人教版六年级下册数学奥数讲义_构造与论证(学生版)

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学科培优数学

“构造与论证”

学生姓名授课日期

教师姓名授课时长

知识定位

各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要

着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里

的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实

例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除

性分析和不等式估计．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目

称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或

通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．

【授课批注】论证：天下乌鸦都是黑的。学生一定会说因为我看到的乌鸦都是

黑的，所以天下乌鸦都是黑的！这样说明问题是不可以的。但是，如果我能看

到一只白乌鸦，从而可以说明天下乌鸦不全是黑的。这种方法叫做举反例法，

是很有说服力的一种方法！

知识梳理

【重点难点解析】

1.如何分类讨论及讨论结果的全面性。

2.与抽屉原理、数论、估算相结合的综合题。

3.如何设计最佳方案和选择最佳方案。

【竞赛考点挖掘】

1. 迎春杯、华杯中经常出现。

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2. 与其他知识点相结合的综合性题目。

【授课批注】

小升初的考试中不会涉及到，但在杯赛中经常出现，尤其是迎春杯，华杯！所

以，考杯赛的学生应着重学习。

例题精讲

【试题来源】

【题目】5 卷本百科全书按从第 1 卷到第 5 卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，

即从第 5 卷到第 1 卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

【试题来源】

【题目】在 1997×1997 的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，

与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．

如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

【试题来源】

【题目】

甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按 l，2，3，4，…依

次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有

15 台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有 9 台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比

赛时，男、女生对垒的台数不会超过 24．并指出在什么情况下，正好是 24 ？

【试题来源】

【题目】有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是

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将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有 1989块

石子，第二堆有 989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：

(1)某 2 堆石子全部取光?

(2)3堆中的所有石子都被取走?

【试题来源】

【题目】4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3 个人中的 2 人．试证明：至少有 2

对人，每对人是互赠过礼品的．

【试题来源】

【题目】证明：在 6×6×6的正方体盒子中最多可放入 52 个 1×l×4的小长方体，这里每

个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．

【试题来源】

【题目】如图 35-1，将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这 10个数分别填入图中的 10个

圆圈内，使任意连续相邻的 5 个圆圈内的各数之和均不大于某个整数 M.求 M的最小值并完

成你的填图.

习题演练

【试题来源】

【题目】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有 3 名专业选手与 3 名业余选手参加.比赛采

用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开

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摘要：

学科培优数学“构造与论证”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．【授课批注】论证：天下乌鸦都是黑的。学生一定会说因为我看到的乌鸦都是黑...

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