人教版六年级下册数学奥数讲义_计数方法(讲师版)

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计数方法

知识定位

本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法来解

决问题

知识梳理

排列

最简单的计数问题，只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识

予以解决．

一般地，从 n 个不同的元素中，任取 m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从

n 个不同元素中任取 m 个元素的一个排列．我们主要来研究满足某种条件的排列的个数．相同的排列

应满足：

它们所含的元素均相同；

它们的顺序也一样．

一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列的个数称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的

排列数，记作：

(m≤n)．

从 n 个元素中取出 m 个元素排成一排，有多少种排法，是从 n 个元素中取出 m 个元素的排列数．这

个问题可以看成有 m 个位置，从 n 个元素中取 m 个元素放到 m 个位置中，可分 m 个步骤：

第①步：第 1 个位置有 n 种选择；

第②步：第 2 个位置有 n-1 种选择；

第③步：第 3 个位置有 n-2 种选择；

……

第 m 步：第 m 个位置有 n-m+1 种选择．

由乘法原理：

A

n×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．——乘积中共有 m 项

特别地，当 m=n 时，

 

1 ... 2 1

m n

n n

A A n n     

叫做 n 个元素的全排列数．

1×2×3×…×n 称为 n 的阶乘，记作 n!因此

 

An m



(m≤n)．

排列数乘积形式的公式：

=n×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．

排列数阶乘形式的公式：

 

An m



(m≤n)．

组合

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有时我们只需从若干元素中取出一些就可以了，这种问题称为组合问题，组合问题与排列问题的

区别就是：组合问题是将元素取出即可，不需排序，而排列问题是取出后要进行排序．

一般地，从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个不同的元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出，n 个

元素的组合．

从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素的组合总数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，

记作

(m≤n)．从 n 个元素中取出 m 个元素的排列问题可以看成分两步完成：

第①步：从 n 个元素中取出 m 个元素，这时有多少种取法?实际上就是从 n 个元素中取出 m 个元素的

组合数

；

第②步：对取出的 m 个元素进行排列，排法数就是

．

由乘法原理可知：

m m m

n n m

A C A 

，因此，



．

将排列数公式代人得：

   

 

. 1 ... 1

. 1 ...3.2.1

n n n m

Cm m

  



或

 

! !

Cn m m



常用的计数方法有：分类枚举、插板、整体、递推、排除、概率等等。

例题精讲

【试题来源】

【题目】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不

相邻，共有（）种不同的排法。

【答案】72

【解析】五位同学的排列方式共有 5×4×3×2×1=120（种）

如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有 4×3×2×1=24（种）。

因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有 24×2=48(种)；

贝贝和妮妮不相邻的排列方式有 120-48=72（种）。

【知识点】计数方法

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈 1 级台阶或 2 级台阶，最多可以迈 3 级台阶．从地面到最上面 1

级台阶，一共可以有多少种不同的走法?

【答案】见解析

【解析】我们知道最后一步可以迈 1 级台阶、2 级台阶或 3 级台阶，也就是说可以从倒数第 1、2 或 3 级台阶直接迈

入最后一级台阶．

即最后一级台阶的走法等于倒数第 1、2 和 3 级台阶的走法和．而倒数第 l 级台阶的走法等于倒数第 2、3 和 4 级台

阶的走法和，……

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如果将 1、2、3……级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第 4 项开始，每一项等于前 3 项的和．

有 1，2，3 级台阶的走法有 1，2，4 种走法，所以 4，5，6，7，8，9，10 级台阶的走法有 7，13，24，44，81，149，

274 种走法．

【知识点】计数方法

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】将一些数字分别填入下列各表中，要求每个小格中填入一个数字，表中的每横行中从左到右数字由小到大，

每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。

(1)将 1 至 4 填入表 1 中，方法有_________种；

表1 表2 表3

(2)将 1 至 6 填入表 2 中，方法有_________种；

【答案】①2 ②5

【解析】①2 种：如图，1 和 4 是固定的，另外两格随便选，2 种；

4 4

②5 种：1 和 6 是固定的，其余的不确定；

4 6 356

124

【知识点】计数方法

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】小明有 10 块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?

【答案】512

【解析】我们将 10 块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中 9 个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将 lO 块糖

分成了两部分．

我们记从左至右,第 1 部分是第 1 天吃的,第 2 部分是第 2 天吃的,…，

如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了 3 粒,第二天吃了剩下的 7 粒：

○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了 4 粒,第二天吃了 3 粒,第三天吃了剩下的 3 粒．

不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而 9 个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有 29=512

种不同的插入方法,即 512 种不同的吃法．

【知识点】计数方法

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

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摘要：

1/13计数方法知识定位本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法来解决问题知识梳理排列最简单的计数问题，只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决．一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列．我们主要来研究满足某种条件的排列的个数．相同的排列应满足：它们所含的元素均相同；它们的顺序也一样．一般地，从n个不同元素中取出m个元素的排列的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作：mnA(m≤n)．从n个元素中取出m个元素排成一排，有多少种...

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