人教版六年级下册数学奥数讲义_数论综合三(讲师版)

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学科培优数学

“数论综合三”

学生姓名

授课日期

教师姓名

授课时长

知识定位

数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语

就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现

天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何

一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”

所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

知识梳理

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的

其他类型问题．

例题精讲

【试题来源】

【题目】己知五个数依次是 13，12， 15， 25，20 它们每相邻的两个数相乘得四个数，这

四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相

乘得一个数。请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个 0？

【答案】10

互联网知名教育资料文库【www.7cm.cn】

【解析】对一般的几个整数的乘积，如果要确定它后面有几个 0. 可以用这样的办法：把每

个乘数分解质因数，把分解中 2 的重数加起来，5 的重数也加起来，看哪一个小，哪一个就

是乘积尾部 0 的个数。这是因为 10＝2×5，所以乘积尾部有个 0，质因数 2 和 5 的重数就至

少是几。

我们可以分别计算质因数 2 和 5 的重数。为此我们画两个图

图中的数字是这样填的：以 2 的重数为例，第一行第一个数 13 不含因数 2，在这个位置填 0，

第二个数 12 含 2 重因数 2（12=2×2×3），在这个位置填 2，等等。下面各行各数都是肩上

两数的和（因为乘积的因数 2 的重数等于各乘数的因数 2 的重数的和）。

这样我们就把原图中每个圈中数的质因数分解中的 2的重数和 5 的重数分别标在左图和右图

中了。特别地，最下面一个数的质因数分解中 2 的重数是 10，5 的重数是 15，所以它尾部

应该有 10 个 0。

【知识点】数论综合三

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】有 4 个不同的自然数，它们当中任意 2 个数的和是 2 的倍数，任意 3 个数的和是 3

的倍数．为了使得这 4 个数的和尽可能地小，这 4 个数分别是多少?

【答案】1、7、13、19

互联网知名教育资料文库【www.7cm.cn】

【解析】由“4 个不同的自然数当中任意 2 个数的和是 2 的倍数”知这 4 个数同奇同偶．

又由“4 个不同的自然数当中任意 3 个数的和是 3 的倍数’’知这 4 个数同余于 3，即

除以 3 都余 l 或 2 或 0．

当第一个数为 1 时，剩下的数只能是奇数，并且除以 3 的余数都是 l，所以依次为 1，7，

13，19．

当第一个数为 2 时，剩下的数应均是偶数，并且除以 3 的余数都是 2，显然这种情况的

四个数对应的都比第一种情况下的 4 个数大．

所以满足条件且和最小的 4 个数依次为 l，7，13．19．

【知识点】数论综合三

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】将数字 4,5,6,7,8,9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数，那么，这个 6

位数除以 667 的结果是．

【答案】956478

【解析】因为

4 5 6 7 8 9 39     

是 3 的倍数

所以此六位数是 3 和 667 的公倍数，且 3×667=2001，所以此六位数是 2001 的倍数

我们发现六位数中 2001 倍数的特征为：前三位是后三位的 2 倍。

所以下面将六位数分成 2 段，根据倍数关系验证即可，结果为 956478.

【知识点】数论综合三

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有多少个?

【答案】18

【解析】这个数奇数位的数字和与偶数位的数字和的差 d 是 11 的倍数,而它们的数字和是奇

数 13，因此，d 只能是 11 的奇数倍．

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摘要：

学科培优数学“数论综合三”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。知识梳理涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．例题精讲【试题来源】【题...

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