人教版六年级下册数学奥数讲义_统计与概率(讲师版)

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学科培优数学

“统计与概率”

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知识定位

在我们日常生活中，通过对统计数据的分析，我们可以了解某一情况，作出

某些决定，如根据商场销售量的统计数据，决定如何进货；也可以由部分个体的

情况了解总体的情况，如通过抽样调查了解我国人口状况等；还可以对现实生活

中的某些现象作出判断，如评判游戏活动的公平性、获奖的可能性等；还可以对

一些事物的未来状况作出预测，如预测次日下雨的可能性等．

在数学内部，概率统计与其他分支的结合，使数学科学出现了许多新进展，

如具有广泛应用性的蒙特卡罗方法等．

在其他领域，概率统计也发挥着日益重要的作用，如考古工作者可以通过统

计数据分析一件文物的年代；文学工作者可以通过两本著作中部分词语的使用频

率分析作者的写作风格，并判别它们是否出自同与作者；自然科学工作者可以通

过概率统计分析，提出一些理论假设，以解释一些自然现象．

知识梳理

一、基本概念

在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫

做个体。

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做

样本的容量。

总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体的平均数叫做

样本平均数。

二、概率的定义

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随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，

特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而

产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大

量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固

定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von 米泽斯把这个固定数定义为该

事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不

够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于 1933 年给出了概率的公理化定义。

普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全

感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存

在的错误的认识：

■1. 六合彩：在六合彩（49 选 6）中，一共有 13983816 种可能性（参

阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在

13983816/52（周）=268919 年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，

因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变

大。

■2. 生日悖论：在一个足球场上有 23 个人（2×11 个运动员和 1 个裁

判员），不可思议的是，在这 23 人当中至少有两个人的生日是在同一天的

机率要大于 50％。

■3. 轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出

现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次

是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，

其机率始终是 18/37。

■4. 三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节

目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆

汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其

後面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有

被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛

者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？

正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭著的门，他赢

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得汽车的机率会增加一倍。

【重点难点解析】

1. 概率的基本含义

2. 事件总数与满足条件的事件

3. 简单的统计图表

【竞赛考点挖掘】

1. 扇形的统计图表

2. 用排除法解决概率问题

例题精讲

【试题来源】

【题目】在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）

25 21 23 25 27 29 25 28 30 29

26 24 25 27 26 22 24 25 26 28

请填写下表

价格范围

商品数

所占百分数

20.5 ~ 22.5

22.5 ~ 24.5

24.5 ~ 26.5

26.5 ~ 28.5

28.5 ~ 30.5

合计

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摘要：

学科培优数学“统计与概率”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在我们日常生活中，通过对统计数据的分析，我们可以了解某一情况，作出某些决定，如根据商场销售量的统计数据，决定如何进货；也可以由部分个体的情况了解总体的情况，如通过抽样调查了解我国人口状况等；还可以对现实生活中的某些现象作出判断，如评判游戏活动的公平性、获奖的可能性等；还可以对一些事物的未来状况作出预测，如预测次日下雨的可能性等．在数学内部，概率统计与其他分支的结合，使数学科学出现了许多新进展，如具有广泛应用性的蒙特卡罗方法等．在其他领域，概率统计也发挥着日益重要的作用，如考古工作者可以通过统计数据分析一件文物的年代；文学工作者可...

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