1991年考研数学二真题及答案

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1991 年考研数学二真题及答案
一、填空题(每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设 ,则 ＿＿＿＿＿＿.
(2) 曲线 的上凸区间是＿＿＿＿＿＿.
(3) ＿＿＿＿＿＿.
(4) 质点以速度 米每秒作直线运动,则从时刻 秒到 秒内质点所经
过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.
(5) ＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所
选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 若曲线 和 在点 处相切,其中 是常数,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 设函数 记 ,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设函数 在 内有定义, 是函数 的极大点,则 ( )
(A) 必是 的驻点 (B) 必是 的极小点
(C) 必是 的极小点 (D) 对一切 都有
(4) 曲线 ( )
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
(5) 如图, 轴上有一线密度为常数 ,长度为 的细杆,有一质量为 的质点到杆右端的距
离为 ,已知引力系数为 ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(每小题 5 分,满分 25 分.)
(1) 设 ,求 .
(2) 计算 .
(3) 求 .
(4) 求 .
(5) 求微分方程 满足 的特解.
四、(本题满分 9 分)
利用导数证明：当 时,有不等式 成立.
五、(本题满分 9 分)
求微分方程 的通解.
六、(本题满分 9 分)
曲线 和 轴围成一平面图形,求此平面图形绕 轴旋转一周所成的旋
转体的体积.
七、(本题满分 9 分)
如图, 和 分别是曲线 和 上的点, 和 均垂直 轴,且
, ,求点 和 的横坐标,使梯形 的面积最大.
八、(本题满分 9 分)
设函数 在 内满足 ,且 ,
计算 .
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