1991年考研数学三真题及答案

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1991 年考研数学三真题及答案
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设 则 _______.
(2) 设曲线 与 都通过点 且在点 有公共切线,
则 _______, _______, _______.
(3) 设 ,则 在点 _______处取极小值 _______.
(4) 设 和 为可逆矩阵, 为分块矩阵,则 _______.
(5) 设随机变量 的分布函数为
则 的概率分布为 _______.
二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 下列各式中正确的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 设 则下列级数中肯定收敛的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设 为 阶可逆矩阵, 是 的一个特征根,则 的伴随矩阵 的特征根之一是( )
(A) (B) (C) (D)
(4) 设 和 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )
(A) 与 不相容 (B) 与 相容
(C) (D)
(5) 对于任意两个随机变量 和 ,若 ,则 ( )
(A) (B)
(C) 和 独立 (D) 和 不独立
三、(本题满分 5 分)
求极限 ,其中 是给定的自然数.
四、(本题满分 5 分)
计算二重积分 ,其中 是由 轴, 轴与曲线 所围成的区域,
.
五、(本题满分 5 分)
求微分方程 满足条件 的特解.
六、(本题满分 6 分)
假设曲线 ： 、 轴和 轴所围区域被曲线 ： 分为面
积相等的两部分,其中 是大于零的常数,试确定 的值.
七、(本题满分 8 分)
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 和 ；销售量分别为 和
； 需 求 函 数 分 别 为 和 , 总 成 本 函 数 为
试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？
八、(本题满分 6 分)
试证明函数 在区间 内单调增加.
九、(本题满分 7 分)
设有三维列向量
问 取何值时,
(1) 可由 线性表示,且表达式唯一?
(2) 可由 线性表示,且表达式不唯一?
(3) 不能由 线性表示?
十、(本题满分 6 分)
考虑二次型 .问 取何值时, 为正定二
次型.
十一、(本题满分 6 分)
试证明 维列向量组 线性无关的充分必要条件是
,
其中 表示列向量 的转置, .
十二、(本题满分 5 分)
一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与
其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以 表示该汽车首次遇到
红灯前已通过的路口的个数.求 的概率分布.
十三、(本题满分 6 分)
假设随机变量 和 在圆域 上服从联合均匀分布.
(1) 求 和 的相关系数 ;(2) 问 和 是否独立?
十四、(本题满分 5 分)
设总体的概率密度为
其中 是未知参数, 是已知常数.试根据来自总体的简单随机样本
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