1991年考研数学一真题及答案

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1991 年考研数学一真题及答案
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3分.)
(1)设 则 =__________.
(2)由方程 所确定的函数 在点 处的全微分
=__________.
(3)已知两条直线的方程是 ； ,则过 且平
行于 的平面方程是__________.
(4)已知当 时,与 是等价无穷小,则常数 =__________.
(5)设4阶方阵 ,则 的逆阵 =__________.
二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3分.)
(1)曲 线

()
(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近
线
(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又
有铅直渐近线
(2)若 连 续 函 数 满 足 关 系 式 ,则 等
于()
(A) (B) 
(C) (D)
(3)已 知 级 数 , , 则 级 数 等
于()
(A)3(B)7(C)8(D)9
(4)设 是 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,是 在第一象限的部
分,则 等
于()
(A) (B) 
(C) (D)0
(5)设 阶方阵 、 、 满足关系式 ,其中 是 阶单位阵,则必有()
(A) (B) 
(C) (D)
三、(本题满分 15 分,每小题 5分.)
(1)求.
(2)设 是曲面 在点 处的指向外侧的法向量,求函数
在点 处沿方向 的方向导数.
(3) ,其 中 是由 曲线 绕 轴旋 转一 周 而 成 的曲 面与 平面
所围成的立体.
四、(本题满分 6分)
在过点 和 的曲线族 中,求一条曲线 ,使沿该曲线从 到
的积分 的值最小.
五、(本题满分 8分.)
将函数 展开成以 2为周期的傅立叶级数,并由此求级数
的和.
六、(本题满分 7分.)
设函数 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且,证明在(0,1)内存在一点 ,使
.
七、(本题满分 8分.)
已知 , , , ,及
.
(1) 、 为何值时,不能表示成 的线性组合？
(2) 、 为何值时,有 的唯一的线性表示式？并写出该表示式.
八、(本题满分 6分)
设 为 阶正定阵,是 阶单位阵,证明 的行列式大于 1.
九、(本题满分 8分)
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 处的曲率等于此曲线在该点的法线段
长度的倒数(是法线与 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与 轴平行.
十、填空题(本题满分 6分,每小题 3分.)
(1)若随机变量 服从均值为 2,方差为 的正态分布,且,则
=_______.
(2)随机地向半圆 (为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率
与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 轴的夹角小于 的概率为_______.
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