1992年考研数学三真题及答案

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1992 年考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)
(1) 设商品的需求函数为 ,其中 分别表示为需求量和价格,如果商品需
求弹性的绝对值大于 1,则商品价格的取值范围是_________.
(2) 级数 的收敛域为_________.
(3) 交换积分次序 _________.
(4) 设 为 阶方阵, 为 阶方阵,且 ,则 ________.
(5) 将 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词 SCIENCE 的
概率为__________.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设 ,其中 为连续函数,则 等于 ( )
(A) (B)
(C) 0 (D) 不存在
(2) 当 时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设 为 矩阵,齐次线性方程组 仅有零解的充分条件是 ( )
(A) 的列向量线性无关 (B) 的列向量线性相关
(C) 的行向量线性无关 (D) 的行向量线性相关
(4) 设当事件 与 同时发生时,事件 必发生,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设 个随机变量 独立同分布,
,则 ( )
(A) 是 的无偏估计量 (B) 是 的最大似然估计量
(C) 是 的相合估计量(即一致估计量) (D) 与 相互独立
三、(本题满分 5 分)
设函数 问函数 在 处是否连续?若不连续,修
改函数在 处的定义使之连续.
四、(本题满分 5 分)
计算
五、(本题满分 5 分)
设 ,求 ,其中 有二阶偏导数.
六、(本题满分 5 分)
求连续函数 ,使它满足 .
七、(本题满分 6 分)
求证:当 时, .
八、(本题满分 9 分)
设曲线方程 .
(1) 把曲线 , 轴, 轴和直线 所围成平面图形绕 轴旋转一周,
得一旋转体,求此旋转体体积 ;求满足 的 .
(2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求
出该面积.
九、(本题满分 7 分)
设矩阵 与 相似,其中
.
(1) 求 和 的值.
(2) 求可逆矩阵 ,使得 .
十、(本题满分 6 分)
已知三阶矩阵 ,且 的每一个列向量都是以下方程组的解:
(1) 求 的值; (2) 证明 .
十一、(本题满分 6 分)
设 分别为 阶正定矩阵,试判定分块矩阵 是否是正定矩阵.
十二、(本题满分 7 分)
假设测量的随机误差 ,试求 100 次独立重复测量中,至少有三次测量误
差的绝对值大于 19.6 的概率 ,并利用泊松分布求出 的近似值(要求小数点后取两位有
效数字).
[附表]
1 2 3 4 5 6 7 …
0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 …
十三、(本题满分 5 分)
一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10,0.20 和
0.30.假设各部件的状态相互独立,以 表示同时需要调整的部件数,试求 的数学期望
和方差 .
十四、(本题满分 4 分)
设二维随机变量 的概率密度为
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