1992年考研数学一真题及答案
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1992 年考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)
(1)设函数 由方程 确定,则____________.
(2)函数 在点 处的梯度 ____________.
(3)设 则其以 为周期的傅里叶级数在点 处收敛于__
__________.
(4)微分方程 的通解为 ____________.
(5)设,其中 则矩阵 的秩
____________.
二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)当 时 ,函 数 的 极
限YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY
()
(A)等于 2(B)等于 0(C)为 YYYYYYYYY(D)不存在但不为
(2)级数 (常数 )()
(A)发散YYYYYYYYYY(B)条件收敛YYYYYYYYY(C)绝对收敛YYYYY(
D)收敛性与 有关
(3)在曲线 的所有切线中,与平面 平行的切线YYYY()
(A)只有 1条YYYYYY(B)只有 2条YYYYYYYYY(C)至少有 3条YYY(D)不存
在Y
(4)设,则 使 存 在 的 最 高 阶 数
为YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY()
(A)0(B)1(C)2(D)3
(5)要使 都是线性方程组 的解,只要系数矩阵 为YYYYYY
()
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题共 3小题,每小题 5分,满分 15 分.)
(1)求Y .
(2)设,其中 具有二阶连续偏导数,求.
(3)设 求 .
四、(本题满分 6分.)
求微分方程 的通解.
五、(本题满分 8分)
计算曲面积分 ,其中 为上半球面
的上侧.
六、(本题满分 7分)
设, ,证明对任何 ,有.
七、(本题满分 8分)
在变力 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面
上第一卦限的点 ,问当 取何值时,力 所做的功 最大?
并求出 的最大值.
八、(本题满分 7分)
设向量组 线性相关,向量组 线性无关,问：
(1) 能否由 线性表出？证明你的结论.
(2) 能否由 线性表出？证明你的结论.
九、(本题满分 7分)
设3阶矩阵 的特征值为 ,对应的特征向量依次为
,又向量 ,
(1)将 用 线性表出.
(2)求(为自然数).
十、填空题(本题满分 6分,每小题 3分.)
(1)已知 , , ,则事件 、 、
全不发生的概率为___________.
(2)设随机变量 服从参数为 1的指数分布,则数学期望 ___________.
十一、(本题满分 6分)
设随机变量 与 独立,服从正态分布 ,服从 上的均匀分布,试求
的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 表示,其中
).
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