1993年考研数学三真题及答案

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1993 年考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)
(1) .
(2) 已知 则 .
(3) 级数 的和为 .
(4) 设 阶方阵 的秩为 ,则其伴随矩阵 的秩为 .
(5) 设总体 的方差为 1,根据来自 的容量为 100 的简单随机样本,测得样本均值为 5,则
的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 .
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设 则 在点 处 ( )
(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续
(C) 连续但不可导 (D) 可导
(2) 设 为连续函数,且 则 等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 阶方阵 具有 个不同的特征值是 与对角阵相似的 ( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件
(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件
(4) 假设事件 和 满足 ,则 ( )
(A) 是必然事件 (B) .
(C) (D)
(5) 设随机变量 的密度函数为 ,且 . 是 的分布函数,则对任
意实数 ,有 ( )
(A) . (B)
(C) (D)
三、(本题满分 5 分)
设 是由方程 所确定的二元函数,求 .
四、(本题满分 7 分)
已知 ,求常数 的值.
五、(本题满分 9 分)
设某产品的成本函数为 需求函数为 其中 为成本,
为需求量(即产量), 为单价, 都是正的常数,且 ,求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润;
(2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量.
六、(本题满分 8 分)
假设:(1) 函数 满足条件 和 ;
(2) 平行于 轴的动直线 与曲线 和 分别相交于点 和 ;
(3) 曲线 ,直线 与 轴所围封闭图形的面积 恒等于线段 的长度.
求函数 的表达式.
七、(本题满分 6 分)
假设函数 在 上连续,在 内二阶可导,过点 与 的直
线与曲线 相交于点 ,其中 .
证明:在 内至少存在一点 ,使 .
八、(本题满分 10 分)
为何值时,线性方程组
有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.
九、(本题满分 9 分)
设二次型
经正交变换 化成 ,其中 和 是三维列
向量, 是 3 阶正交矩阵.试求常数 .
十、(本题满分 8 分)
设随机变量 和 同分布, 的概率密度为
(1) 已知事件 和 独立,且 求常数
(2) 求 的数学期望.
十一、(本题满分 8 分)
假设一大型设备在任何长为 的时间内发生故障的次数 服从参数为 的泊松分
布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔 的概率分布；
(2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下,再无故障运行 8 小时的概率 .
答案
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