1993年考研数学一真题及答案
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1993 年考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)
(1)函数 的单调减少区间为______________.
(2)由曲线 绕 轴旋转一周得到的旋转面在点 处的指向外侧的
单位法向量为______________.
(3)设函数 的傅里叶级数展开式为
,则其中系数 的值为______________.
(4)设数量场 则 ______________.
(5)设 阶矩阵 的各行元素之和均为零,且 的秩为 ,则线性方程组 的通解为_
_____________.
二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)设,则当 时,是 的ttttttt
()
(A)等价无穷小 ttttttttttttttttttttttttt(B)同阶但非等
价无穷小
(C)高阶无穷小ttttttttttttttttttttttttt(D)低阶无穷小
(2)双纽线 所围成的区域面积可用定积分表示
为ttttttttttttt()
(A) (B)
(C) (D)
(3)设有直线 与 ,则 与 的夹角为ttttt()
(A) (B)
(C) (D)
(4)设曲线积分 与路径无关,其中 具有一阶连续导
数,且,则 等
于ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt
ttt()
(A) (B)
(C) (D)
(5)已知 ,为三阶非零矩阵,且满足 ,则
(A) 时,的秩必为 1(B) 时,的秩必为 2
(C) 时,的秩必为 1(D) 时,的秩必为 2
三、(本题共 3小题,每小题 5分,满分 15 分.)
(1)求t .
(2)求t .
(3)求微分方程 ,满足初始条件 的特解.
四、(本题满分 6分)
计算 ,其中 是由曲面 与
所围立体的表面外侧.
五、(本题满分 7分)
求级数 的和.
六、(本题共 2小题,每小题 5分,满分 10 分.)
(1)设在 上函数 有连续导数,且 证明 在 t
内有且仅有一个零点.
(2)设,证明 .
七、(本题满分 8分)
已知二次型 ,通过正交变换化成标准形
,求参数 及所用的正交变换矩阵.
八、(本题满分 6分)
设 是 矩阵,是 矩阵,其中 ,是 阶单位矩阵,若,证明 的列
向量组线性无关.
九、(本题满分 6分)
设物体 从点 出发,以速度大小为常数 沿 轴正向运动.物体 从点 与 同时
出发,其速度大小为 ,方向始终指向 ,试建立物体 的运动轨迹所满足的微分方程,并写
出初始条件.
十、填空题(本题共 2小题,每小题 3分,满分 6分,把答案填在题中横线上.)
(1)一批产品共有 10 个正品和 2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二
次抽出的是次品的概率为_______.
(2)设随机变量 服从 上的均匀分布,则随机变量 在 内的概率分布密度
_______.
十一、(本题满分 6分)
设随机变量 的概率分布密度为 , .
(1)求 的数学期望 和方差 .
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