1994年考研数学二真题及答案

0





5



1994考研数学二真题及答案

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)

sin 2x  e2ax 1

(1) 若 f (x)  



, x  0,

x

a,x  0

在(, ) 上连续,则a  ＿＿＿＿＿＿.

x  t  ln(1 t),

(2) 设函数 y  y(x) 由参数方程 y  t3  t 2

(3) d



cos3x

f (t)dt   ＿＿＿＿＿＿ .

d 2 y

所确定,则

dx2

 ＿＿＿＿＿＿.

dx  0

(4)



x

3

e

x

2

dx



＿＿＿＿＿＿ .

(5) 微分方程 ydx  (x2  4x)dy  0 的通解为＿＿＿＿＿＿.

二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

ln(1 x)  (ax  bx2 )

(1) 设lim

x0x2

5

 2 , 则 ( )

(A) a  1, b  (B) a  0, b  2

2

(C) a  0, b  (D) a  1, b  2

2

 2 x3 , x  1

(2) 设 f (x)  

3

, 则 f (x) 在点 x  1 处的 ( )



x

2

,

x



1

(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在

(C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在

(3) 设 y  f (x) 是满足微分方程 y  y  esin x  0 的解,且 f (x )  0 ,则 f (x) 在 ( )

(A) x0 的某个领域内单调增加 (B) x0 的某个领域内单调减少(C)

x0 处取得极小值 (D) x0 处取得极大值

1

(4) 曲线 y  e

x

2 arctan x2  x 1

(x 1)(x 

2)

的渐近线有 ( )

(A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条







1



y

1

B

Cy  x2  1

2

O

A

x



sin x

 

(5) 设 M



2

 1 xcos4 xdx, N 2 (sin3 x  cos4 x)dx , P 



2 (x2 sin3 x  cos4 x)dx ,



2 2 2

则有 ( )

(A) N  P  M (B) M  P  N

(C) N  M  P (D) P  M  N

三、(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.)

d 2 y

(1) 设 y 

(2) 计算



0

f (x  y) ,其中 f 具有二阶导数,且其一阶导数不等于 1,求

3

x(1 x4 )2 dx .

.

dx2

(3)

计算lim tann (



n4

 2) .

n

dx

(4)

计算

sin 2x  2 sin x

.

(5)

如图,设曲线方程为 y  x2  1 ,梯形OABC 的面积为 D ,曲边梯形OABC 的面积为

2

D3

D1 ,点 A 的坐标为(a, 0), a  0 ,证明：

D  2

.

四、(本题满分 9 分) 1

设当 x  0 时,方程 kx   1有且仅有一个解,求 k 的取值范围.

x2

五、(本题满分 9 分)

x3  4

设 y ,

x2

(1) 求函数的增减区间及极值； (2)

求函数图像的凹凸区间及拐点； (3)

求其渐近线；

(4) 作出其图形.

六、(本题满分 9 分)

求微分方程 y  a2 y  sin x 的通解,其中常数 a  0 .

七、(本题满分 9 分)



1

设 f (x) 在

[0,1]

上连续且递减,证明：当0 



 1时,



0

f

(x)dx







0

f

(x)dx

.

八、(本题满分 9 分)

求曲线 y  3 | x2 1| 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y  3 旋转所得的旋转体体积.

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