1995年考研数学三真题及答案

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1995 年考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设 ,则 .
(2) 设 , 可导,则 .
(3) 设 ,则 .
(4) 设 , 是 的伴随矩阵,则 .
(5) 设 是来自正态总体 的简单随机样本,其中参数 和 未知,
记 则假设 的 检验使用统计量 _____.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设 为可导函数,且满足条件 ,则曲线 在点
处的切线斜率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 下列广义积分发散的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设矩阵 的秩为 , 为 阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )
(A) 的任意 个行向量必线性无关
(B) 的任意一个 阶子式不等于零
(C) 若矩阵 满足 ,则
(D) 通过初等行变换,必可以化为 的形式
(4) 设随机变量 和 独立同分布,记 ,则随机变量 与 必然
( )
(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零
(5) 设随即变量 服从正态分布 ,则随 的增大,概率 ( )
(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定
三、(本题满分 6 分)
设 ,试讨论 在 处的连续性和可导性.
四、(本题满分 6 分)
已知连续函数 满足条件 ,求 .
五、(本题满分 6 分)
将函数 展成 的幂级数,并指出其收敛区间.
六、(本题满分 5 分)
计算 .
七、(本题满分 6 分)
设某产品的需求函数为 ,收益函数为 ,其中 为产品价格, 为需求
量(产品的产量), 为单调减函数.如果当价格为 ,对应产量为 时,边际收益
,收益对价格的边际效应 ,需求对价格的弹性 .
求 和 .
八、(本题满分 6 分)
设 、 在区间 ( )上连续, 为偶函数,且 满足条件
( 为常数).
(1) 证明 ；
九、(本题满分 9 分)
已知向量组(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) ,如果各向量组的
秩
分别为 , .
证明:向量组 的秩为 4.
十、(本题满分 10 分)
已知二次型 .
(1) 写出二次型 的矩阵表达式；
(2) 用正交变换把二次型 化为标准形,并写出相应的正交矩阵.
十一、(本题满分 8 分)
假设一厂家生产的每台仪器,以概率 0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试,
经调试后以概率 0.80 可以出厂；以概率 0.20 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了
台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：
(1) 全部能出厂的概率 ；
(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率 ；
(3) 其中至少有两台不能出厂的概率 .
十二、(本题满分 8 分)
已知随机变量 和 的联合概率密度为
求 和 联合分布函数 .
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