1996年考研数学二真题及答案

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1996 年考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设 ,则 ＿＿＿＿＿＿.
(2) ＿＿＿＿＿＿.
(3) 微分方程 的通解为＿＿＿＿＿＿.
(4) ＿＿＿＿＿＿.
(5) 由曲线 及 所围图形的面积 ＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设当 时, 是比 高阶的无穷小,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 设函数 在区间 内有定义,若当 时,恒有 ,则
必是 的 ( )
(A) 间断点 (B) 连续而不可导的点
(C) 可导的点,且 (D) 可导的点,且
(3) 设 处处可导,则 ( )
(A) 当 ,必有
(B) 当 ,必有
(C) 当 ,必有
(D) 当 ,必有
(4) 在区间 内,方程 ( )
(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根
(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根
(5) 设 在区间 上连续,且 ( 为常数),由曲线
及 所围平面图形绕直线 旋转而成的旋转体体积为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.)
(1) 计算 .
(2) 求 .
(3) 设 其中 具有二阶导数,且 ,求 .
(4) 求函数 在 点处带拉格朗日型余项的 阶泰勒展开式.
(5) 求微分方程 的通解.
(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为 ,用过此柱体底面的短轴与底面成
角( )的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积 .
四、(本题满分 8 分)
计算不定积分 .
五、(本题满分 8 分)
设函数
(1) 写出 的反函数 的表达式；
(2) 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.
六、(本题满分 8 分)
设函数 由方程 所确定,试求 的驻点,并判别
它是否为极值点.
七、(本题满分 8 分)
设 在区间 上具有二阶导数,且 , ,试证明：
存在 和 ,使 及 .
八、(本题满分 8 分)
设 为连续函数,
(1) 求初值问题 的解 ,其中 为正的常数；
(2) 若 ( 为常数),证明：当 时,有 .
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