1996年考研数学三真题及答案

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1996 年考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设方程 确定 是 的函数,则 ______ _____ .
(2) 设 ,则 ______ _____ ..
(3) 设 是抛物线 上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足
的关系是______ _____ .
(4) 设
, , ,
其中 .则线性方程组 的解是______ _____ .
(5) 设由来自正态总体 容量为 9 的简单随机样本,得样本均值 ,则未
知参数 的置信度为 0.95 的置信区间为______ _____ .
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 累次积分 可以写成 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 下述各选项正确的是 ( )
(A) 若 和 都收敛,则 收敛
(B) 收敛,则 与 都收敛
(C) 若正项级数 发散,则
(D) 若级数 收敛,且 ,则级数 也收敛
(3) 设 阶矩阵 非奇异( ), 是矩阵 的伴随矩阵,则 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4) 设有任意两个 维向量组 和 ,若存在两组不全为零的数
和 ,使 ,则
( )
(A) 和 都线性相关
(B) 和 都线性无关
(C) 线性无关
(D) 线性相关
(5) 已知 且 ,则下列选项成立的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
三、(本题满分 6 分)
设 其中 有二阶连续导数,且
.
(1)求 ；
(2)讨论 在 上的连续性.
四、(本题满分 6 分)
设函数 ,方程 确定 是 的函数,其中 可微；
, 连续,且 .求 .
五、(本题满分 6 分)
计算 .
六、(本题满分 5 分)
设 在区间 上可微,且满足条件 .试证:存在 使
七、(本题满分 6 分)
设某种商品的单价为 时,售出的商品数量 可以表示成 ,其中
均为正数,且 .
(1) 求 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.
(2) 要使销售额最大,商品单价 应取何值?最大销售额是多少?
八、(本题满分 6 分)
求微分方程 的通解.
九、(本题满分 8 分)
设矩阵 .
(1) 已知 的一个特征值为 3,试求 ；
(2) 求矩阵 ,使 为对角矩阵.
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