1997年考研数学二真题及答案

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1997年考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
x0
x(4 x)
b
1
0
1 x
1 x2
(co
s
x)
x
2
,
(1) 已知 f (x)
a,
x 0,
x 0
在 x 0 处连续,则 a ...............
(2) 设 y ln ,则 y ..................
(3)

dx ..................
dx
(4)
0
.
x2 4x 8
(5) 已知向量组1 (1, 2, 1,1),
2 (2, 0, t, 0),
3 (0, 4, 5, 2) 的秩为 2,则 t .....
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 设 x 0 时 , etan x ex 与 xn 是 同 阶 无 穷 小 , 则 n 为 ( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(2) 设在区间[a, b] 上 f (x) 0, f (x) 0, f (x) 0, 记
S1
a
f (x)dx, S
2
f (b)(b a) ,
S3 2 [ f (a) f (b)](b a) , 则 ( )
(A) S1 S2 S3 (B) S2 S3 S1
(C) S3 S1 S2 (D) S2 S1 S3
(3)已知函数 y f (x) 对一切 x 满足 xf (x) 3x[ f (x)]2 1 e x ,若 f (x )
0(x
0),
则 ( )
(A) f (x0 ) 是 f (x) 的极大值
(B) f (x0 ) 是 f (x) 的极小值
(C) (x0 , f (x0 )) 是曲线 y f (x) 的拐点
(D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0 , f (x0 )) 也不是曲线 y
f (x) 的拐点
(4) 设 F (x)
x2
esin t sin tdt, 则 F (x) ( )
x
(A) 为 正 常 数 (B) 为 负 常 数
(C) 恒 为 零 (D) 不 为 常 数
2 x,x
0x2 ,x 0
(5) 设g(x) x 2,  x 0 , f (x) x,   , 则g[ f (x)] 为( )
x 0
2 x2 ,x 0 2 x2 ,x 0
(A) 2 x,x 0 (B) 2 x,
x 0
2 x2 ,x 0 2 x2 ,x 0
(C) 2 x,x 0 (D) 2 x,
x 0
三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.)
(1)
求极限 lim
x
.
x arctan tdy
(2)
设 y y(x) 由2 y ty2 et 5
所确定,求
dx
.
(3)
计算 e2 x (tan x 1)2dx .
(4)
求微分方程(3x2 2xy y2 )dx (x2 2xy)dy 0 的通解.
(5)
已知 y xex e2 x , y xex e x , y xex e2 x e x 是某二阶线性非齐次微分方程
1 2 3
的三个解,求此微分方程.
1 1 1
(6)
已知 A 0 1 1 ,且 A2 AB E ,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B .
0 0 1
四、(本题满分 8 分.)
2x1
x2 x3 1
取何值时,方程组 x x x 2 无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷
1 2 3
4x 5x 5x 1
多解时写出方程组的通解.
五、(本题满分 8 分)
1 2 3
设曲线 L 的极坐标方程为 r r(
) , M (r,
) 为 L 上任一点, M 0 (2, 0) 为 L 上一定点,
若极径OM 0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0 , M 两点间弧长值的
一半,求曲线 L 的方程.
4x2 x 1 x
1
x2 sin x
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