1997年考研数学三真题及答案

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1997 年考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)
(1) 设 ,其中 可微,则 ___________.
(2) 若 ,则 ___________.
(3) 差分方程 的通解为___________.
(4) 若二次型 是正定的,则 的取值范围是____
_______.
(5) 设随机变量 和 相互独立且都服从正态分布 ,而 和 分
别是来自总体 的简单随机样本,则统计量 服从___________
分布(2 分),参数为___________.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 设 ,则当 时, 是 的 ( )
(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小
(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小
(2) 若 ,在 内 ,且 ,则在
内有 ( )
(A) , (B) ,
(C) , (D) ,
(3) 设向量组 , , 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )
(A) , ,
(B) , ,
(C) , ,
(D) , ,
一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)
(1) 设 ,其中 可微,则 ___________.
(2) 若 ,则 ___________.
(3) 差分方程 的通解为___________.
(4) 若二次型 是正定的,则 的取值范围是____
_______.
(5) 设随机变量 和 相互独立且都服从正态分布 ,而 和 分
别是来自总体 的简单随机样本,则统计量 服从___________
分布(2 分),参数为___________.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 设 ,则当 时, 是 的 ( )
(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小
(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小
(2) 若 ,在 内 ,且 ,则在
内有 ( )
(A) , (B) ,
(C) , (D) ,
(3) 设向量组 , , 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )
(A) , ,
(B) , ,
(C) , ,
(D) , ,
(4) 设 为同阶可逆矩阵,则 ( )
(A) (B) 存在可逆矩阵 ,使
(C) 存在可逆矩阵 ,使 (D) 存在可逆矩阵 和 ,使
(5) 设两个随机变量 与 相互独立且同分布：
,则下列各式中成立的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分 6 分)
在经济学中,称函数
为固定替代弹性生产函数,而称函数
为 Cobb-Douglas 生产函数(简称 C—D 生产函数).
试证明：但 时,固定替代弹性生产函数变为 C—D 生产函数,即有
.
四、(本题满分 5 分)
设 有 连 续 偏 导 数 , 和 分 别 由 方 程 和
所确定,求 .
五、(本题满分 6 分)
一商家销售某种商品的价格满足关系 (万元/吨), 为销售量(单位：吨),
商品的成本函数 (万元).
(1) 若每销售一吨商品,政府要征税 (万元),求该商家获最大利润时的销售量；
(2) 为何值时,政府税收总额最大.
六、(本题满分 6 分)
设函数 在 上连续、单调不减且 ,试证函数
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