1997年考研数学一真题及答案
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1997 年考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共 5分,每小题 3分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)
(1) .
(2)设 幂 级 数 的 收 敛 半 径 为 3, 则 幂 级 数 的 收 敛 区 间
为**********.
(3)对 数 螺 线 在 点 处 的 切 线 的 直 角 坐 标 方 程
为**********.
(4)设,为三阶非零矩阵,且,则 *=.
(5)袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,
取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是**********.
二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)二 元 函 数 在 点
处******************()
(A)连续,偏导数存在*******************(B)连续,偏导数不存在
(C)不连续,偏导数存在*****************(D)不连续,偏导数不存在
(2)设在区间 上 令 ,
,则**************************
****************()
(A) (B)
(C) (D)
(3) 则 *
*************************************()
(A)为正常数********(B)为负常数******(C)恒为零**********(
D)不为常数
(4)设 则三条直线 , ,
(其中 )交于一点的充要条件是********()
(A) 线性相关
(B) 线性无关
(C)秩 秩
(D) 线性相关,线性无关
(5)设两个相互独立的随机变量 和 的方差分别为 4和2,则随机变量 的方差是
()
(A)8(B)16(C)28(D)44
三、(本题共 3小题,每小题 5分,满分 15 分.)
(1)计算 其中 为平面曲线 绕 轴旋转一周形成的曲面与平
面 所围成的区域.
(2)计算曲线积分 ,其中 是曲线 从 *
轴正向往 轴负向看,的方向是顺时针的.
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为 ,
在 时刻已掌握新技术的人数为 ,在任意时刻 已掌握新技术的人数为 (将 视
为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数
求.
四、(本题共 2小题,第(1)小题 6分,第(2)小题 7分,满分 13 分.)
(1)设直线 在平面 上,且平面 与曲面 相切于点
,求 之值.
(2)设函数 具有二阶连续导数,而 满足方程 ,求.
五、(本题满分 6分)
设 连续,且(为常数),求 并讨论 在
处的连续性.
六、(本题满分 8分)
设 证明：
(1) 存在；
(2)级数 收敛.
七、(本题共 2小题,第(1)小题 5分,第(2)小题 6分,满分 11 分.)
(1)设 是秩为 2的 矩阵,是齐
次线性方程组 的解向量,求 的解空间的一个标准正交基.
(2)已知 是矩阵 的一个特征向量.
(Ⅰ)试确定参数 及特征向量 所对应的特征值；
(Ⅱ)问 能否相似于对角阵？说明理由.
八、(本题满分 5分)
设 是 阶可逆方阵,将 的第 行和第 行对换后得到的矩阵记为 .
(1)证明 可逆；
(2)求.
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