1998年考研数学二真题及答案

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1998 年考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)
(1) .
(2) 曲线 与 轴所围成的图形的面积 .
(3) .
(4) 设 连续,则 .
(5) 曲线 的渐近线方程为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设数列 与 满足 ,则下列断言正确的是 ( )
(A) 若 发散,则 发散 (B) 若 无界,则 必有界
(C) 若 有界,则 必为无穷小 (D) 若 为无穷小,则 必为无穷小
(2) 函数 的不可导点的个数是 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(3) 已知函数 在任意点 处的增量 其中 是比 高阶
的无穷小,且 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
(4) 设函数 在 的某个邻域内连续,且 为其极大值,则存在 ,当
时,必有 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(5) 设 是任一 阶方阵, 是其伴随矩阵,又 为常数,且 ,则必有
( )
(A) (B) (C) (D)
三、(本题满分5分)
求函数 在区间 内的间断点,并判断其类型.
四、(本题满分5分)
确定常数 的值,使
五、(本题满分5分)
利用代换 将方程 化简,并求出原方程的通
解.
六、(本题满分6分)
计算积分 .
七、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 (从海平面算
起)与下沉速度 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在
下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 ,体积为 ,海水比重为 ,仪器所
受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为 .试建立 与 所满足的微分方程,并求出
函数关系式 .
八、(本题满分8分)
设 是区间 上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 ,使得在区间 上以 为高的矩形面积,等于在 上以
为曲边的梯形面积.
(2) 又设 在区间 内可导,且 ,证明(1)中的 是唯一的.
九、(本题满分8分)
设有曲线 ,过原点作其切线,求由此曲线、切线及 轴围成的平面图形绕
轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
十、(本题满分8分)
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