1998年考研数学三真题及答案

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1998 年考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为 ,则 .
(2) .
(3) 差分方程 的通解为 .
(4) 设矩阵 满足 ,其中 , 为单位矩阵, 为
的伴随矩阵,则 .
(5) 设 是来自正态总体 的简单随机样本,
.则当 , 时,统计量 服从 分布,
其自由度为 .
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设周期函数 在 内可导,周期为 4.又 则曲线
在点 处的切线的斜率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 设函数 讨论函数 的间断点,其结论为 ( )
(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点
(C) 存在间断点 (D) 存在间断点
(3) 齐次线性方程组 的系数矩阵记为 .若存在三阶矩阵 使得
,则 ( )
(A) 且 (B) 且
(C) 且 (D) 且
(4) 设 阶矩阵
,
若矩阵 的秩为 ,则 必为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 设 与 分别为随机变量 与 的分布函数.为使
是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分 5 分)
设 ,求 与 .
四、(本题满分 5 分)
设 ,求 .
五、(本题满分 6 分)
设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定 )就售出,总收入为 .如果窖藏
起来待来日按陈酒价格出售, 年末总收入为 假定银行的年利率为 ,并以连续
复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求 时的 值.
六、(本题满分 6 分)
设函数 在 上连续,在 内可导,且 试证存在 使得
七、(本题满分 6 分)
设有两条抛物线 和 ,记它们交点的横坐标的绝对值为
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 ；
(2) 求级数 的和.
八、(本题满分 7 分)
设函数 在 上连续.若由曲线 直线 与 轴所围
成的平面图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体体积为
试求 所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件 的解.
九、(本题满分 9 分)
设向量 都是非零向量,且满足条件 记
矩阵 求：
(1) ；
(2) 矩阵 的特征值和特征向量.
十、(本题满分 7 分)
设矩阵 矩阵 其中 为实数, 为单位矩阵.求对角矩阵
,使 与 相似,并求 为何值时, 为正定矩阵.
十一、(本题满分 10 分)
一商店经销某种商品,每周进货的数量 与顾客对该种商品的需求量 是相互独立的
随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000 元；
若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为 500 元.试计
算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
十二、(本题满分 9 分)
设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3
份、7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 ；
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