1998年考研数学一真题及答案

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1998 年考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1) .
(2) 设 具有二阶连续导数,则 .
(3) 设 为椭圆 其周长记为 ,则 .
(4) 设 为 阶矩阵, , 为 的伴随矩阵, 为 阶单位矩阵.若 有特征值 ,
则 必有特征值 .
(5) 设平面区域 由曲线 及直线 所围成,二维随机变量 在
区域 上服从均匀分布,则 关于 的边缘概率密度在 处的值为 _ .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)
(1) 设 连续,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 函数 不可导点的个数是 ( )
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
(3) 已知函数 在任意点 处的增量 且当 时, 是 的高
阶无穷小, ,则 等于 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4) 设矩阵 是满秩的,则直线 与直线
( )
(A) 相交于一点 (B) 重合
(C) 平行但不重合 (D) 异面
(5) 设 是两个随机事件,且 则必有( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分5分)
求直线 在平面 上的投影直线 的方程,并求
绕 轴旋转一周所成曲面的方程.
四、(本题满分6分)
确定常数 ,使在右半平面 上的向量
为某二元函数 的梯度,并求 .
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 (从海平面算
起)与下沉速度 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在
下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 ,体积为 ,海水比重为 ,仪器所
受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为 .试建立 与 所满足的微分方程,并求出
函数关系式 .
六、(本题满分7分)
计算 其中 为下半球面 的上侧, 为大
于零的常数.
七、(本题满分6分)
求
八、(本题满分5分)
设正项数列 单调减少,且 发散,试问级数 是否收敛？并说
明理由.
九、(本题满分6分)
设 是区间 上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 ,使得在区间 上以 为高的矩形面积,等于在区间
上以 为曲边的梯形面积.
(2) 又设 在区间 内可导,且 证明(1)中的 是唯一的.
十、(本题满分6分)
已知二次曲面方程
,
可以经过正交变换
化为椭圆柱面方程 ,求 的值和正交矩阵 .
十一、(本题满分4分)
设 是 阶矩阵,若存在正整数 ,使线性方程组 有解向量 ,且 ,
证明：向量组 是线性无关的.
十二、(本题满分5分)
已知线性方程组
的一个基础解系为 ,试写出线性
方程组
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