1999年考研数学二真题及答案

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1999年考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)
(1) 曲线 ，在点 处的法线方程为
(2) 设函数 由方程 确定，则
(3)
(4) 函数 在区间 上的平均值为
(5) 微分方程 的通解为
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是
符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)
(1) 设 ，其中 是有界函数，则 在 处 ( )
(A) 极限不存在.
(B) 极限存在，但不连续.
(C) 连续，但不可导.
(D) 可导.
(2) 设 ，则当 时 是 的 (
)
(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小
(C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小
(3) 设 是连续函数， 是 的原函数，则 ( )
(A) 当 是奇函数时， 必是偶函数.
(B) 当 是偶函数时， 必是奇函数.
(C) 当 是周期函数时， 必是周期函数.
(D) 当 是单调增函数时， 必是单调增函数.
(4) “对任意给定的 ，总存在正整数 ，当 时，恒有 ”是数
列 收敛于 的 ( )
(A)充分条件但非必要条件. (B)必要条件但非充分条件.
(C)充分必要条件. (D)既非充分条件又非必要条件.
(5)记行列式 为 ，则方程 的根的个数为(
)
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.
三、(本题满分5分)
求 .
四、(本题满分6分)
计算 .
五、(本题满分7分)
求初值问题 的解.
六、(本题满分7分)
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口
见图，已知井深 30m,抓斗自重 , 缆绳每米重
，抓斗抓
起的污泥重 ，提升速度为 ,在提升过程中，污泥以
的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重
力需作多少焦耳的功？(说明：① 其中 分别表示
米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不
计.)
七、(本题满分 8 分)
已知函数 ，求
(1)函数的增减区间及极值；
(2)函数图形的凹凸区间及拐点
(3)函数图形的渐近线.
八、(本题满分 8 分)
设函数 在闭区间 上具有三阶连续导数，且 ， ，
，证明：在开区间 内至少存在一点 ，使 .
九、(本题满分 9 分)
设函数 二阶可导，且 ， .过曲线 上任意一点
作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 ，
区间 上以 为曲边的曲边梯形面积记为 ，并设 恒为 1，求此曲线
的方程.
十、(本题满分 6 分)
设 是区间 上单调减少且非负的连续函数，
，证明数列 的极限存在.
十一、(本题满分 8 分)
设矩阵，矩阵满足，其中 是 的伴随矩阵，
求矩阵.
十二、(本题满分 5 分)
设向 量 组 ， ， ，
(1) 为 何值 时 ， 该 向 量 组 线性无关？ 并 在 此 时 将 向 量 用
线性表出；
(2) 为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
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