1999年考研数学一真题及答案

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1999 年考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分。把正确答案填写在题中横线上。)
(1)' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
(2)' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
(3)'
'
的通解为 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
(4)'设
n'
阶矩阵
A'
的元素全为 1，则
A'
的 个特征值是' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
(5)'设两两相互独立的三事件
A
,'
B'
和
C'
满足条件：
则 ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
'
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分。每小题给出得四个选项中，只有一个
是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)
(1)设 是连续函数， 是 的原函数，则'('''')
(A)'当 是奇函数时， 必是偶函数。
(B)'当 是偶函数时， 必是奇函数。
(C)'当 是周期函数时， 必是周期函数。
(D)'当 是单调增函数时， 必是单调增函数。
(2)设 其中 是有界函数，则 在 处'
('''')'''''
(A)极限不存在''''''''''(B)极限存在，但不连续
(C)连续，但不可导''''''''(D)可导
'
(3)'设 其中
则 等于'('''')
(A) '''''''''''''(B) '''''''''''(C) '
'''''''''''(D)
'
(4)设
A'
是 矩阵，'
B'
是 矩阵，则
(A)当 时，必有行列式 ''''(B)当 时，必有行列式
(C)当 时，必有行列式 ''''(D)当 时，必有行列式
'
(5)设两个相互独立的随机变量
X'
和
Y'
分别服从正态分布
N
和
N
，则
(A)' ''''''''''''''''(B
)'
(C)' ''''''''''''''''''(D
)'
'
三、(本题满分 5 分)
设 ， 是由方程 和 =0 所确定的函数，其中
和 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 。
'
四、(本题满分 5 分)
求 其中
a
,
b'
为正常数，'
L'
为从点
A
沿曲线 到点
O
的弧.
'
五、'(本题满分 6 分)
设函数 二阶可导，且 ， .过曲线 上任意一点
作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 ，
区间 上以 为曲边的曲边梯形面积记为 ，并设 恒为 1，求此曲线
的方程.
'
六、(本题满分 6 分)
试证：当 时，
'
七、(本题满分 6 分)
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口
见图，已知井深 30m,抓斗自重 ,'缆绳每米重
'
，抓斗抓
起的污泥重 ，提升速度为 ,在提升过程中，污泥以
的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重
力需作多少焦耳的功？(说明：① 其中 分别表示
米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不
计.)
'
八、(本题满分 7 分)
设
S'
为椭球面 的上半部分，点
P
∈
S
,π为
S'
在点
P'
处的
切平面， 为点
O
到平面π的距离，求
'
九、(本题满分 7 分)
设
(1)'求 的值；
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