2000考研数学二真题及答案

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2000 考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
(1)
(2) 设函数 由方程 所确定，则
(3)
(4) 曲线 的斜渐近线方程为
(5) 设 ， 为 4 阶单位矩阵，且 则
.
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数 在 内连续，且 则常数 满足 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 设函数 满足关系式 ，且 ，则 ( )
(A) 是 的极大值.
(B) 是 的极小值.
(C)点 是曲线 的拐点.
(D) 不是 的极值，点 也不是曲线 的拐点.
(3 ) 设 是大于零的可导函数，且 则当
时，有 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4) 若 ，则 为 ( )
(A)0. (B)6. (C)36. (D) .
(5) 具有特解 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分 5 分)
设 ，计算 .
四、(本题满分 5 分)
设 平面上有正方形 及直线 .若
表示正方形 位于直线 左下方部分的面积，试求 .
五、(本题满分 5 分)
求函数 在 处的 阶导数 .
六、(本题满分 6 分)
设函数 ，
(1)当 为正整数，且 时，证明 ；
(2)求 .
七、(本题满分 7 分)
某湖泊的水量为 ，每年排入湖泊内含污染物 的污水量为 ，流入湖泊内不含
的水量为 ，流出湖泊的水量为 ，已知 1999 年底湖中 的含量为 ，超过国家规定
指标.为了治理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含 污水的浓度不超过 .问至多
需要经过多少年，湖泊中污染物 的含量降至 以内(注：设湖水中 的浓度是均匀的)
八、(本题满分 6 分)
设函数 在 上连续，且 ，试证明：在
内至少存在两个不同的点 ，使
九、(本题满分 7 分)
已知 是周期为 5 的连续函数，它在 的某个邻域内满足关系式
其中 是当 时比 高阶的无穷小，且 在 处可导，求曲线 在
点 处的切线方程.
十、(本题满分 8 分)
设曲线 与 交于点 ，过坐标原点 和点 的直线与曲
线 围成一平面图形.问 为何值时，该图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？
最大体积是多少？
十一、(本题满分 8 分)
函数 在 上可导， 且满足等式
(1)求导数 ；
(2)证明：当 时，成立不等式 成立
十二、(本题满分 6 分)
设 .其中 是 的转置，
求解方程
十三、(本题满 7 分)
已知向量组 与向量组
具有相同的秩，且 可由 线性表出，求 的值.
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