2000考研数学三真题及答案
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2000考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
(1) 设 ，其中 均可微，则 .
(2)
(3) 若四阶矩阵 与 相似，矩阵 的特征值为 ，则行列式
(4) 设随机变量 的概率密度为
若 使得 ，则 的取值范围是
(5) 假设随机变量 在区间 上服从均匀分布，随机变量
则方差
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设对任意的 ，总有 ，且 ，则 (
)
(A)存在且一定等于零. (B)存在但不一定等于零.
(C)一定不存在. (D)不一定存在.
(2) 设函数 在点 处可导，则函数 在点 处不可导的充分条件是 (
)
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设 是 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 三 个 解 向 量 ， 且 ，
，
， 表任意常数，则线性方程组 的通解 ( )
(A) (B) (C) (D)
(4) 设 为 阶实矩阵， 是 的转置矩阵，则对于线性方程组 和
，必有 ( )
(A) 的解是 的解， 的解也是 的解.
(B) 的解是 的解，但 的解不是 的解.
(C) 的解不是 的解， 的解也不是 的解.
(D) 的解是 的解，但 的解不是 的解.
(5) 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个
温控器显示的温度不低于临界温度 ，电炉就断电，以 表示事件“电炉断电”，而
为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 等于事件(
)
(A) (B) (C) (D)
三、(本题满分 6 分)
求微分方程 满足条件 .
四、(本题满分 6 分)
计算二重积分 ，其中 是由曲线 和
直线 围成的区域
五、(本题满分 6 分)
假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是
其中 和 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)， 和 分别表示该产
品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是
，其中 表示该产品在两个市场的销售总量，即
(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企
业获得最大利润；
(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价
格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.
六、(本题满分 7 分)
求函数 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.
七、(本题满分 6 分)
设 求
八、(本题满分 6 分)
设函数 在 上连续，且 ，试证明：在
内至少存在两个不同的点 ，使
九、(本题满分 8 分)
设向量组， 试问 满
足什么条件时，
(1) 可由 线性表出，且表示唯一？
(2) 不能由 线性表出？
(3) 可由 线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.
十、(本题满分 9分)
设有 元实二次型
其中 为实数.试问：当满足条件时，二次型
为正定二次型.
十一、(本题满分 8 分)
假设是来自总体的简单随机样本值.已知 服从正态分布 .
(1)求 的数学期望 (记为 );
(2)求 的置信度为 0.95 的置信区间;
(3)利用上述结果求 的置信度为 0.95 的置信区间.
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