2001考研数学二真题及答案

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2001 考研数学二真题及答案
一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．把答案填在题中横线上．）
（1） ＝______．
【答案】
【考点】洛必达法则
【难易度】★★
【详解】解析：方法一：
方法二：使用洛必达法则计算
.
（2）设函数 由方程 所确定，则曲线 在点
处的法线方程为______．
【答案】
【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线
【难易度】★★
【详解】解析：在等式 两边对
x
求导,得
将 代入上式,得 故所求法线方程为 即
x
2−
y
+2=0.
（3） ＝_______．
【答案】
【考点】定积分的换元法
【难易度】★★
【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算.
在区间 上, 是奇函数, 是偶函数,
故
（4）过点 且满足关系式 的曲线方程为______．
【答案】
【考点】一阶线性微分方程
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
原方程 可改写为
两边直接积分,得
又由 解得
故所求曲线方程为：
方法二:
将原方程写成一阶线性方程的标准形式
解得
又由 解得
故曲线方程为：
（5）设方程 有无穷多个解，则
a
＝______．
【答案】
【考点】非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
可见,只有当
a
= 2 −时才有秩 对应方程组有无穷多个解.
方法二:
当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的
a
一定使系数行列式
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