2002考研数学二真题及答案

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2002 考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 5小题，每小题 3分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
(1) 设函数 在 处连续，则 .
(2) 位于曲线 下方， 轴上方的无界图形的面积是_______.
(3) 微分方程 满足初始条件 的特解是_________.
(4) _____ .
(5) 矩阵 的非零特征值是_________.
二、选择题(本题共 5小题，每小题 3分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数 可导， 当自变量 在 处取得增量 时，相应的
函数增量 的线性主部为 ，则 =( )
(A)－1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5
(2) 设函数 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设 是二阶常系数微分方程 满足初始条 的特
解，则当 ，函数 的极限( )
(A)不存在 (B)等于1 (C)等于2 (D)等于3
(4) 设函数 在 内有界且可导，则( )
(A)当 时，必有 .
(B)当 存在时，必有 .
(C)当 时，必有 .
(D)当 存在时，必有 .
(5) 设向量组 线性无关，向量 可由 线性表示，而向量 不能由
线性表示，则对于任意常数 ，必有( )
(A) , 线性无关； (B) , 线性相关；
(C) , 线性无关； (D) , 线性相关
三、(本题满分 6分)
已知曲线的极坐标方程是 ，求该曲线上对应于 处的切线与法线的
直角坐标方程.
四、(本题满分 7分)
设 求函数 的表达式.
五、(本题满分 7分)
已知函数 在 内可导 ， , 且满足
,求.
六、(本题满分 8分)
求微分方程 的一个解 ,使得由曲线 ， 与直线
以及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积最小.
七、(本题满分 7分)
某闸门的性状与大小如图所示，其中直线 为对
称轴，闸门的上部为矩形 ，下部由二次抛物线
与线段 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使
闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之
比为5：4，闸门矩形部分的高 应为多少 (米)？
八、(本题满分 8分)
设 ，证明数列 的极限存在，并求此极限.
九、(本题满分 8分)
设 ，证明不等式
十、(本题满分8分)
设函数 在 的某邻域内具有二阶连续导数，且
证明:存在惟一的一组实数 ，使得当 时，
是比 高阶的无穷小.
十一、(本题满分 6分)
已知 为3 阶矩阵，且满足 ,其中 是3阶单位矩阵.
(1) 证明：矩阵 可逆；
(2) 若,求矩阵
十二、(本题满 6分)
已知 4阶方阵 均为 4维列向量，其中 线性
无关， .如果 ，求线性方程组 的通解.
D 1m 1m C
A B
1m
l h
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