2002考研数学三真题及答案

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2002 考研数学三真题及答案
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
(1) 设常数 ，则
(2) 交换积分次序： .
(3) 设三阶矩阵 ，三维列向量 .已知 与 线性相关，
则
.
(4) 设随机变量 和 的联合概率分布为
-1 0 1
0 0.07 0.18 0.15
1 0.08 0.32 0.20
则 和 的协方差 .
(5) 设总体 的概率密度为
而 是来自总体 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数 在闭区间 上有定义，在开区间 内可导，则 ( )
(A)当 时，存在 ，使 .
(B)对任何 ，有 .
(C)当 时，存在 ，使 .
(D)存在 ，使 .
(2) 设幂级数 与 的收敛半径分别为 与 ，则幂级数 的收敛
半径为 ( )
(A) 5 (B) (C) (D)
(3) 设 是 矩阵， 是 矩阵，则线性方程组 ( )
(A)当 时仅有零解 (B)当 时必有非零解
(C)当 时仅有零解 (D)当 时必有非零解
(4) 设 是 阶实对称矩阵， 是 阶可逆矩阵，已知 维列向量 是 的属于特征值
的
特征向量，则矩阵 属于特征值 的特征向量是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 设随机变量 和 都服从标准正态分布，则 ( )
(A) 服从正态分布 (B) 服从 分布
(C) 和 都服从 分布 (D) 服从 分布
三、(本题满分 5 分)
求极限
四、(本题满分 7 分)
设函数 有连续偏导数，且 由方程 所确定，求
.
五、(本题满分 6 分)
设 求 .
六、(本题满分 7 分)
设 是由抛物线 和直线 及 所围成的平面区域； 是由抛
物线 和直线 所围成的平面区域，其中 .
(1)试求 绕 轴旋转而成的旋转体体积 ； 绕 轴旋转而成的旋转体体积 ；
(2)问当 为何值时， 取得最大值？试求此最大值.
七、(本题满分 7 分)
(1)验证函数 满足微分方程
(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.
八、(本题满分 6 分)
设函数 在 上连续，且 .利用闭区间上连续函数性质，证明存
在一点 ，使 .
九、(本题满分 8 分)
设齐次线性方程组
其中 ，试讨论 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无
穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.
十、(本题满分 8 分)
设 为三阶实对称矩阵，且满足条件 ，已知 的秩
(1)求 的全部特征值
(2)当 为何值时，矩阵 为正定矩阵，其中 为三阶单位矩阵.
十一、(本题满分 8 分)
假设随机变量 在区间 上服从均匀分布，随机变量
试求：(1) 和 的联合概率分布；(2) .
十二、(本题满分 8 分)
假设一设备开机后无故障工作的时间 服从指数分布，平均无故障工作的时间
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