2003考研数学二真题及答案

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2003 考研数学二真题及答案
一、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1） 若 时， 与 是等价无穷小，则 a= .
（2） 设函数 y=f(x)由方程 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切
线方程是 .
（3） 的麦克劳林公式中 项的系数是 .
（4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于 从 0 变到 的
一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .
（5） 设 为 3 维列向量， 是 的转置. 若 ，则
= .
（6） 设三阶方阵 A,B 满足 ，其中 E 为三阶单位矩阵，若
，则 .
二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设 均为非负数列，且 , , ,则
必有
(A) 对任意 n 成立. (B) 对任意 n 成立.
(C) 极限 不存在. (D) 极限 不存在. [
]
（2）设 , 则极限 等于
(A) . (B) .
(C) . (D) .
[ ]
（3）已知 是微分方程 的解，则 的表达式为
（A） (B)
(C) (D) [ ]
（4）设函数 f(x)在 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有
(A) 一个极小值点和两个极大值点.
(B) 两个极小值点和一个极大值点.
(C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [
]
y
O x
（5）设 , , 则
(A) (B)
(C) (D) [ ]
（6）设向量组I： 可由向量组II： 线性表示，则
(A) 当 时，向量组II必线性相关. (B) 当 时，向量组II必线性相关.
(C) 当 时，向量组I必线性相关. (D) 当 时，向量组I必线性相关.
[ ]
三 、（本题满分 10 分）
设函数
问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点？
四 、（本题满分 9 分）
设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求
五 、（本题满分 9 分）
计算不定积分
六 、（本题满分 12 分）
设函数 y=y(x)在 内具有二阶导数，且 是 y=y(x)的反
函数.
(1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的
微分方程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解.
七 、（本题满分 12 分）
讨论曲线 与 的交点个数.
八 、（本题满分 12 分）
设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ，其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴
的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分.
(1) 求曲线 y=f(x)的方程；
(2) 已知曲线 y=sinx 在 上的弧长为 ，试用 表示曲线 y=f(x)的弧长 s.
九 、（本题满分 10 分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线 绕 y
轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.
根据设计要求，当以 的速率向容器内注入液体时，
液面的面积将以 的速率均匀扩大（假设注入液体前，
容器内无液体）.
(1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 之间的关系式；
(2) 求曲线 的方程.
(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)
十 、（本题满分 10 分）
设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限
存在，证明：
(1) 在(a,b)内 f(x)>0;
(2) 在(a,b)内存在点 ，使
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