2003考研数学一真题及答案

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2003 考研数学一真题及答案
一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(1)
(2) 曲面 与平面 平行的切平面的方程是 .
(3) 设 ，则 = .
(4) 从 的基 到基 的过渡矩阵为 .
(5) 设二维随机变量 的概率密度为 则
.
(6) 已知一批零件的长度 (单位： cm)服从正态分布 ，从中随机地抽取 16
个
零件，得到长度的平均值为 40 ( )，则 的置信度为 0.95 的置信区间是
.
(注：标准正态分布函数值
二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1) 设函数 在 内连续，其导函数的图形如图所示，
则 有( )
(A)一个极小值点和两个极大值点.
(B)两个极小值点和一个极大值点.
(C)两个极小值点和两个极大值点.
(D)三个极小值点和一个极大值点.
(2) 设 均为非负数列，且 , , ,则必有(
)
(A) 对任意 成立. (B) 对任意 成立.
(C) 极限 不存在. (D) 极限 不存在.
(3) 已知函数 在点 的某个邻域内连续，且 ，则(
)
(A) 点 不是 的极值点.
(B) 点 是 的极大值点.
(C) 点 是 的极小值点.
(D) 根据所给条件无法判断点 是否为 的极值点.
(4) 设向量组I： 可由向量组II： 线性表示，则( )
(A) 当 时，向量组II必线性相关. (B) 当 时，向量组II必线性相关.
(C) 当 时，向量组I必线性相关. (D) 当 时，向量组I必线性相关.
(5) 设有齐次线性方程组 和 , 其中 均为 矩阵，现有 4 个命题：
① 若 的解均是 的解，则秩( ) 秩( )；
② 若秩( ) 秩( )，则 的解均是 的解；
③ 若 与 同解，则秩( )=秩( )；
④ 若秩( )=秩( )， 则 与 同解.
以上命题中正确的是( )
(A) ① ②. (B) ① ③.
(C) ② ④. (D) ③ ④.
(6) 设随机变量 ，则( )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
三 、(本题满分 10 分)
过坐标原点作曲线 的切线，该切线与曲线 及 轴围成平面图形 .
(1) 求 的面积 ;
(2) 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 .
四 、(本题满分 12 分)
将函数 展开成 的幂级数，并求级数 的和.
五 、(本题满分 10 分)
已知平面区域 ， 为 的正向边界. 试证：
(1) ;
(2)
六 、(本题满分 10 分)
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的
阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为
).汽锤第一次击打将桩打进地下 . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与
前一次击打时所作的功之比为常数 . 问
(1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？
(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
(注： 表示长度单位米.)
七 、(本题满分 12 分)
设函数 )在 内具有二阶导数，且 是 的
反函数.
(1) 试将 所满足的微分方程 变换为 满
足的微分方程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解.
八 、(本题满分 12 分)
设函数 连续且恒大于零，
， ，
其中 ，
(1) 讨论 在区间 内的单调性.
(2) 证明当 时，
九 、(本题满分 10 分)
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