2004考研数学三真题及答案
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2004 考研数学三真题及答案
一、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
(1) 若
lim
x→0
sin x
ex−a(cos x−b)=5
，则
a
=______，
b
=______.
(2) 设函数
f
(
u
,
v
)由关系式
f
[
xg
(
y
) ,
y
] =
x
+
g
(
y
)确定，其中函数
g
(
y
)可微，且
g
(
y
) ? 0，则 .
(3) 设
f(x)=
{
xex2,−1
2≤x<1
2
−1, x≥1
2
，则 .
(4) 二次型
f(x1, x2, x3)=( x1+x2)2+( x2−x3)2+( x3+x1)2
的秩为 .
(5) 设随机变量
X
服从参数为
λ
的指数分布, 则
P{X>
√
DX }=
_______.
(6) 设总体
X
服从正态分布
N(μ1, σ2)
, 总体
Y
服从正态分布
N(μ2, σ2)
,
X1, X2,⋯Xn1
和
Y1, Y 2,⋯Yn2
分别是来自总体
X
和
Y
的简单随机样本, 则
.
二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(7) 函数
f(x)= |x|sin (x−2)
x(x−1)( x−2)2
在下列哪个区间内有界.
(A) (?1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).
[ ]
(8) 设
f
(
x
)在(?? , +?)内有定义，且
lim
x→ ∞
f(x)=a
，
g(x)=
{
f(1
x), x≠0
0, x=0
，则
(A)
x
= 0 必是
g
(
x
)的第一类间断点. (B)
x
= 0 必是
g
(
x
)的第二类间断点.
(C)
x
= 0 必是
g
(
x
)的连续点.
(D)
g
(
x
)在点
x
= 0 处的连续性与
a
的取值有关. [ ]
(9) 设
f
(
x
) = |
x
(1 ?
x
)|，则
(A)
x
= 0 是
f
(
x
)的极值点，但(0 , 0)不是曲线
y
=
f
(
x
)的拐点.[ ]
(B)
x
= 0 不是
f
(
x
)的极值点，但(0 , 0)是曲线
y
=
f
(
x
)的拐点.
(C)
x
= 0 是
f
(
x
)的极值点，且(0 , 0)是曲线
y
=
f
(
x
)的拐点.
(D)
x
= 0 不是
f
(
x
)的极值点，(0 , 0)也不是曲线
y
=
f
(
x
)的拐点.
(10) 设有下列命题：
(1) 若
∑
n=1
∞
(u2n−1+u2n)
收敛，则
∑
n=1
∞
un
收敛.
(2) 若
∑
n=1
∞
un
收敛，则
∑
n=1
∞
un+1000
收敛.
(3) 若
lim
n→∞
un+1
un
>1
，则
∑
n=1
∞
un
发散.
(4) 若
∑
n=1
∞
(un+vn)
收敛，则
∑
n=1
∞
un
，
∑
n=1
∞
vn
都收敛.
则以上命题中正确的是
(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).
[ ]
(11) 设
f'(x)
在[a , b]上连续，且
f'(a)>0, f '(b)<0
，则下列结论中错误的是
(A) 至少存在一点
x0∈(a,b)
，使得
f(x0)
>
f
(
a
).
(B) 至少存在一点
x0∈(a,b)
，使得
f(x0)
>
f
(
b
).
(C) 至少存在一点
x0∈(a,b)
，使得
f'(x0)=0
.
(D) 至少存在一点
x0∈(a,b)
，使得
f(x0)
= 0. [ D ]
(12) 设
n
阶矩阵
A
与
B
等价, 则必有
(A) 当
|A|=a(a≠0)
时,
|B|=a
. (B) 当
|A|=a(a≠0)
时,
|B|=−a
.
(C) 当
|A|≠0
时,
|B|=0
. (D) 当
|A|=0
时,
|B|=0
. [ ]
(13) 设
n
阶矩阵
A
的伴随矩阵
A¿≠0,
若
ξ1, ξ2, ξ3,ξ4
是非齐次线性方程组
Ax=b
的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组
Ax=0
的基础解系
(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [
]
(14) 设 随 机 变 量
X
服 从 正 态 分 布
N(0,1)
, 对 给 定 的
α∈(0,1 )
, 数
uα
满 足
P{X>uα}=α
,
若
P{|X|<x}=α
, 则
x
等于
(A)
uα
2
. (B)
u
1−α
2
. (C)
u1−α
2
. (D)
u1−α
.
[ ]
三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分 8 分)
求
lim
x→0
(1
sin2x−cos2x
x2)
.
(16) (本题满分 8 分)
求
∬
D
(
√
x2+y2+y)dσ
，其中
D
是由圆
x2+y2=4
和
(x+1)2+y2=1
所围成的
平面区域(如图).
(17) (本题满分 8 分)
设
f
(
x
) ,
g
(
x
)在[
a
,
b
]上连续，且满足
∫a
xf(t)dt≥∫a
xg(t)dt
，
x
? [
a
,
b
)，
∫a
bf(t)dt=∫a
bg(t)dt
.
证明：
∫a
bxf (x)dx≤∫a
bxg(x)dx
.
(18) (本题满分 9 分)
设某商品的需求函数为 Q = 100 ? 5P，其中价格 P ? (0 , 20)，Q 为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性
Ed
(
Ed
> 0)；
(II) 推导
dR
dP =Q(1−Ed)
(其中
R
为收益)，并用弹性
Ed
说明价格在何范围内变化时，
降低价格反而使收益增加.
(19) (本题满分 9 分)
设级数
的和函数为
S
(
x
). 求：
(I)
S
(
x
)所满足的一阶微分方程；
(II)
S
(
x
)的表达式.
(20)(本题满分 13 分)
设
α1=(1,2,0)T
,
α2=(1, α+2,−3α)T
,
α3=(−1,−b−2, α +2b)T
,
β=(1,3 ,−3)T
,
试讨论当
a , b
为何值时,
(Ⅰ)
β
不能由
α1, α2, α3
线性表示;
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