2004考研数学一真题及答案

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2004 考研数学一真题及答案
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线 y=lnx 上与直线 Error: Reference source not found 垂直的切线方程为
Error: Reference source not found.
【分析】  本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可
确定切点的坐标.
【详 解 】 由 Error: Reference source not found ， 得 x=1,  可见 切 点 为 Error:
Reference source not found，于是所求的切线方程为
           Error: Reference source not found， 即 Error: Reference source
not found.
【评注】 本题也可先设切点为 Error: Reference source not found，曲线 y=lnx 过此
切点的导数为 Error: Reference source not found，得 Error: Reference source not
found，由此可 知所求切线 方 程为 Error: Reference source not found ，  即 Error:
Reference source not found.
本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.
（2）已 知 Error: Reference source not found ， 且 f(1)=0,   则 f(x)=  Error:
Reference source not found  .
【分析】 先求出 Error: Reference source not found 的表达式，再积分即可.
【详解】 令 Error: Reference source not found，则 Error: Reference source not
found，于是有
         Error: Reference source not found， 即   Error: Reference source
not found
 积分得  Error: Reference source not found. 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故
所求函数为 f(x)= Error: Reference source not found.
【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.
（3）设 Error: Reference source not found 为正向圆周 Error: Reference source
not found 在第一象限中的部分，则曲线积分 Error: Reference source not found 的值
为 Error: Reference source not found .
【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.
【详解】  正向圆周 Error: Reference source not found 在第一象限中的部分，可表
示为
          Error: Reference source not found
于是  Error: Reference source not found
                   =Error: Reference source not found
【评注】  本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加
的线段上用参数法化为定积分计算即可.
（4）欧拉方程 Error: Reference source not foundError: Reference source not
found 的通解为 Error: Reference source not found.
【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 Error: Reference source not
found 化为常系数线性齐次微分方程即可.
【详解】  令 Error: Reference source not found，则 Error: Reference source
not found，

          Error: Reference source not found，
代入原方程，整理得
Error: Reference source not found，
解此方程，得通解为    Error: Reference source not found
【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 Error: Reference source not
found，则欧拉方程
          Error: Reference source not found，
可化为        Error: Reference source not found
（5）设矩阵 Error: Reference source not found，矩阵 B 满足 Error: Reference
source not found，其中 Error: Reference source not found 为 A 的伴随矩阵，E 是单位
矩阵，则 Error: Reference source not found Error: Reference source not found  .
【分析】 可先用公式 Error: Reference source not found 进行化简
【详解】  已知等式两边同时右乘 A，得
Error:   Reference   source   not   found ，     而 Error:   Reference
source not found，于是有
Error: Reference  source   not   found ，     即       Error: Reference
source not found，
再两边取行列式，有    Error: Reference source not foundError: Reference
source not found，
         而 Error: Reference source not found ，故所 求行列式为 Error: Reference
source not found
【评 注 】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 Error:
Reference source not found ， 一 般 均 应 先 利 用 公 式 Error: Reference source not
found 进行化简.
（6）设随机变量 X 服从参数为 Error: Reference source not found 的指数分布，则
Error: Reference source not found=  Error: Reference source not found .
【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计
算即可.
【详解】  由题设，知 Error: Reference source not found，于是
      Error: Reference source not found=Error: Reference source not found
          =Error: Reference source not found
【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再
去推算.
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）把 Error: Reference source not found 时 的 无 穷 小 量 Error: Reference
source not found，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A)  Error: Reference source not found.     (B)   Error: Reference source
not found.   (C)  Error: Reference source not found.     (D)   Error: Reference
source not found.           [  B  ]
【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.
【详解】  Error: Reference source not found，可排除(C),(D)选项，
又          Error: Reference source not found
                  =Error: Reference source not found，可见 Error: Reference

source not found 是比 Error: Reference source not found 低阶的无穷小量，故应选
(B).
【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将 Error: Reference source not found
分别与 Error: Reference source not found 进行比较，再确定相互的高低次序.
（8）设 函 数 f(x) 连 续 ， 且 Error: Reference source not found 则 存在 Error:
Reference source not found，使得
    (A)     f(x) 在 （ 0 ， Error:   Reference   source   not   found 内 单 调 增 加 .
（B）f(x)在 Error: Reference source not found 内单调减少.
(C)  对任意的 Error: Reference source not found 有 f(x)>f(0) .   (D) 对任
意的
Error:
Referen
ce
source
not
found 有
f(x)>f(
0)   .
[  C  ]
【分析】  函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),
(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.
【详解】  由导数的定义，知
      Error: Reference source not found，
根据保号性，知存在 Error: Reference source not found，当 Error: Reference source
not found 时，有
             Error: Reference source not found
即当 Error: Reference source not found 时，f(x)<f(0); 而当 Error: Reference
source not found 时，有 f(x)>f(0). 故应选(C).
【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论.
（9）设 Error: Reference source not found 为正项级数，下列结论中正确的是
 (A)  若Error: Reference source not found=0，则级数 Error: Reference source
not found 收敛.
（ B ）   若 存 在非 零 常 数 Error:  Reference   source   not  found ， 使 得 Error:
Reference source not found，则级数 Error: Reference source not found 发散.
(C)    若 级 数 Error: Reference source not found 收 敛，则 Error: Reference
source not found.   
(D)若级数 Error: Reference source not found 发散, 则存在非零常数 Error:
Reference source not found ，使得 Error: Reference source not found.
[  B  ]
【分析】  对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正
确选项.
【详解】  取 Error: Reference source not found，则 Error: Reference source
not found=0，但Error: Reference source not found 发散，排除(A)，(D)；
又取 Error: Reference source not found，则级数 Error: Reference source not

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