2005考研数学二真题及答案

2005 考研数学二真题及答案

一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）

（1）设，则 =______ .

（2）曲线的斜渐近线方程为______ .

（3） ______ .

（4）微分方程满足的解为______ .

（5）当时，与是等价无穷小，则

k= ______ .

（6）设均为 3 维列向量，记矩阵

，，

如果，那么 .

二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数，则 f(x)在内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]

（8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，表示“M 的充分必要条件是

N”，则必有

(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数.

（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. [ ]

（9）设函数 y=y(x)由参数方程确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴

交点的横坐标是

(A) . (B) .

(C) . (D) . [ ]

（10）设区域，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b 为

1

常数，则

(A) . (B) . (C) . (D) . [

]

（11）设函数 , 其中函数具有二阶导数，

具有一阶导数，则必有

(A) . （B） .

(C) . (D) .

[ ]

（12）设函数则

(A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点.

（B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点.

(C) x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点.

(D) x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. [ ]

（13）设是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，

线性无关的充分必要条件是

(A) . (B) . (C) . (D) .

[ ]

（14）设 A 为 n（）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, 分别为

A,B 的伴随矩阵，则

(A) 交换的第 1 列与第 2 列得 . (B) 交换的第 1 行与第 2 行得 .

(C) 交换的第 1 列与第 2 列得 . (D) 交换的第 1 行与第 2 行得

.

[ ]

三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分 11 分）

设函数 f(x)连续，且，求极限

（16）（本题满分 11 分）

2

如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一

单调增函数的图象. 过上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线和 . 记

与所围图形的面积为；与所围图形的面积为如果总

有，求曲线的方程

（17）（本题满分 11 分）

如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线 C

在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积

分

（18）（本题满分 12 分）

用变量代换化简微分方程，并求其满足

的特解.

（19）（本题满分 12 分）

已知函数 f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I）存在使得；

（II）存在两个不同的点，使得

（20）（本题满分 10 分）

已知函数 z=f(x,y) 的全微分，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y)在椭圆

域上的最大值和最小值.

（21）（本题满分 9 分）

计算二重积分，其中 .

（22）（本题满分 9 分）

确定常数 a, 使向量组可由向量组

线性表示，但向量组不能

由向量组线性表示.

（23）（本题满分 9 分）

已知 3 阶矩阵 A 的第一行是不全为零，矩阵（k 为

常数），且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0 的通解.

3

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