2005考研数学三真题及答案

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2005 考研数学三真题及答案
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1）极限 = .
（2） 微分方程 满足初始条件 的特解为______.
（3）设二元函数 ，则 ________.
（4）设行向量组 ， ， ， 线性相关，且
，则 a=_____.
（5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 中任取一个数，记为 Y,
则
=______.
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
X Y 0 1
0 0.4 a
1 b 0.1
已知随机事件 与 相互独立，则 a= ， b= .
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当 a 取下列哪个值时，函数 恰好有两个不同的零点.
(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [
]
（ 8 ） 设 , , , 其
中
，则
(A) . （B） .
(C) . (D) . [ ]
（9）设 若 发散， 收敛，则下列结论正确的是
(A) 收 敛 ， 发 散 . （ B ） 收 敛 ，
发散.
(C) 收敛. (D) 收敛. [
]
（10）设 ,下列命题中正确的是
(A) f(0)是极大值， 是极小值. （B） f(0)是极小值， 是极大值.
（C） f(0)是极大值， 也是极大值. (D) f(0)是极小值， 也是极
小值.
[ ]
（11）以下四个命题中，正确的是
(A) 若 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.
（B）若 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.
（C）若 在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若 在（0，1）内有界，则 在（0，1）内有界. [
]
（12）设矩阵 A= 满足 ，其中 是 A 的伴随矩阵， 为 A 的转置矩
阵. 若 为三个相等的正数，则 为
(A) . (B) 3. (C) . (D) . [
]
（13）设 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ，
线性无关的充分必要条件是
(A) . (B) . (C) . (D) .
[ ]
（14） 设一批零件的长度服从正态分布 ，其中 均未知. 现从中随机抽取
16 个零件，测得样本均值 ，样本标准差 ，则 的置信度为 0.90
的置信区间是
(A) (B)
(C) (D)
[ ]
三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
（15）（本题满分 8 分）
求
（16）（本题满分 8 分）
设 f(u)具有二阶连续导数，且 ，求
（17）（本题满分 9 分）
计算二重积分 ，其中 .
（18）（本题满分 9 分）
求幂级数 在区间(-1,1)内的和函数 S(x).
（19）（本题满分 8 分）
设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, , .证明：对任
何 a ,有
（20）（本题满分 13 分）
已知齐次线性方程组
（i）
和
（ii）
同解，求 a,b, c 的值.
（21）（本题满分 13 分）
设 为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 矩阵.
(I) 计算 ，其中 ；
（II）利用(I)的结果判断矩阵 是否为正定矩阵，并证明你的结论.
（22）（本题满分 13 分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
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