2005考研数学一真题及答案

2005 考研数学一真题及答案

一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线の斜渐近线方程为 _____________.

（2）微分方程满足の解为. ____________.

（3）设函数，单位向量，则

=.________.

（4）设是由锥面与半球面围成の空间区域，

是の整个边界の外侧，则 ____________.

（5）设均为 3 维列向量，记矩阵

，，

如果，那么 ..

（6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从中任取一个数，记为 Y,

则

=____________.

二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出の四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）

（7）设函数，则 f(x)在内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]

（8）设 F(x)是连续函数 f(x)の一个原函数，表示“M の充分必要条

件是 N”，则必有

(A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数.

（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. [ ]

（9）设函数 , 其中函数具有二阶导

数，具有一阶导数，则必有

(A) . （B） .

(C) . (D) . [ ]

（10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)の一

个邻域，在此邻域内该方程

(A) 只能确定一个具有连续偏导数の隐函数 z=z(x,y).

(B) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y).

(C) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数 y=y(x,z)和 z=z(x,y).

(D) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数 x=x(y,z) 和 y=y(x,z).

[ ]

（11）设是矩阵 A の两个不同の特征值，对应の特征向量分别为，则

，线性无关の充分必要条件是

(A) . (B) . (C) . (D) .

[ ]

（12）设 A 为 n（）阶可逆矩阵，交换 A の第 1 行与第 2 行得矩阵 B, 分

别为 A,B の伴随矩阵，则

(A) 交换の第 1 列与第 2 列得 . (B) 交换の第 1 行与第 2 行得 .

(C) 交换の第 1 列与第 2 列得 . (D) 交换の第 1 行与第 2 行得

.

[ ]

（13）设二维随机变量(X,Y) の概率分布为

X Y 0 1

0 0.4 a

1 b 0.1

已知随机事件与相互独立，则

(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1

(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4

[ ]

（14）设为来自总体 N(0,1)の简单随机样本，为样本均值，

为样本方差，则

(A) (B)

(C) (D) [ ]

三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.）

（15）（本题满分 11 分）

设，表示不超过の最

大整数. 计算二重积分

（16）（本题满分 12 分）

求幂级数の收敛区间与和函数 f(x).

（17）（本题满分 11 分）

如图，曲线 C の方程为 y=f(x)，点(3,2)是它の一个拐点，直线与分别是曲线 C

在点(0,0)与(3,2)处の切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积

分

（18）（本题满分 12 分）

已知函数 f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I）存在使得；

（II）存在两个不同の点，使得

（19）（本题满分 12 分）

设函数具有连续导数，在围绕原点の任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分

の值恒为同一常数.

（ I ）证明：对右半平面 x>0 内の任意分段光滑简单闭曲线 C ，有

；

（II）求函数の表达式.

（20）（本题满分 9 分）

已知二次型の秩为 2.

（I）求 a の值；

（II）求正交变换，把化成标准形；

（III）求方程 =0 の解.

（21）（本题满分 9 分）

已知 3 阶矩阵 A の第一行是不全为零，矩阵（k为

常数），且 AB=O, 求线性方程组Ax=0 の通解..

（22）（本题满分 9 分）

设二维随机变量(X,Y)の概率密度为

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