2006考研数学一真题及答案

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2006 考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)
(1)
0
ln(1 )
lim 1 cos
x
x x
x
.
(2)微分方程
(1 )y x
yx
の通解是 .
(3) 设
是锥面
2 2
z x y 
(
0 1z 
) の 下 侧 , 则
2 3( 1)xdydz ydzdx z dxdy
 
.
(4)点
(2,1, 0)
到平面
の距离
z
= .
(5) 设 矩 阵
2 1
1 2
 
 
 
A
,
E
为 2 阶 单 位 矩 阵 , 矩 阵
B
满 足
2 BA B E
, 则
B
=
.
(6) 设 随 机 变 量
z
与
Y
相互独立,且均服从区间
[0,3]
上 の 均 匀 分 布 , 则
 
max{ , } 1P X Y
= .
二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出の四个选项中,只有一
项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内)
(7)设函数
( )y f x
具有二阶导数,且
( ) 0, ( ) 0f x f x
 
 
,
x
为自变量
x
在
0
x
处の
增量,
y
与
dy
分别为
( )f x
在点
0
x
处对应の增量与微分,若
0x 
,则
(A)
0dx y  
(B)
0y dy 
(C)
0y dy 
(D)
0dy y 
(8)设
( , )f x y
为连续函数,则
1
4
0 0
( cos , sin )d f r r rdr
 
 
等于
(A)
2
21
2
0
( , )
x
x
dx f x y dy
 
(B)
2
21
2
0 0
( , )
x
dx f x y dy
 
(C)
2
21
2
0
( , )
y
y
dy f x y dx
 
(C)
2
21
2
0 0
( , )
y
dy f x y dx
 
(9)若级数
1
n
n
a
收敛,则级数
(A)
1
n
n
a
收敛 (B)
1
( 1)
n
n
n
a
收敛
(C)
1
1
n n
n
a a
收敛 (D)
1
1
2
n n
n
a a
收敛
(10)设
( , )f x y
与
( , )x y
均为可微函数,且
1
( , ) 0
y
x y
.已知
0 0
( , )x y
是
( , )f x y
在约
束条件
( , ) 0x y
下の一个极值点,下列选项正确の是
(A)若
0 0
( , ) 0
x
f x y
,则
0 0
( , ) 0
y
f x y
(B) 若
0 0
( , ) 0
x
f x y
, 则
0 0
( , ) 0
y
f x y
(C)若
0 0
( , ) 0
x
f x y
,则
0 0
( , ) 0
y
f x y
(D) 若
0 0
( , ) 0
x
f x y
, 则
0 0
( , ) 0
y
f x y
(11)设
1 2
, , , ,
s
α α α
均为
n
维列向量,
A
是
m n
矩阵,下列选项正确の是
(A)若
1 2
, , , ,
s
α α α
线性相关,则
1 2
, , , ,
s
Aα Aα Aα
线性相关
(B)若
1 2
, , , ,
s
α α α
线性相关,则
1 2
, , , ,
s
Aα Aα Aα
线性无关
(C)若
1 2
, , , ,
s
α α α
线性无关,则
1 2
, , , ,
s
Aα Aα Aα
线性相关
(D)若
1 2
, , , ,
s
α α α
线性无关,则
1 2
, , , ,
s
Aα Aα Aα
线性无关.
(12)设
A
为 3 阶矩阵,将
A
の第 2 行加到第 1 行得
B
,再将
B
の第 1 列の-1 倍加到第 2
列得
C
,记
1 1 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
P
,则
(A)
1
C P AP
(B)
1
C PAP
(C)
T
C P AP
(D)
T
C PAP
(13)设
,A B
为随机事件,且
( ) 0, ( | ) 1P B P A B 
,则必有
(A)
( ) ( )P A B P A
(B)
( ) ( )P A B P B
(C)
( ) ( )P A B P A
(D)
( ) ( )P A B P B
(14)设随机变量
X
服从正态分布
2
1 1
( , )N
 
,
Y
服从正态分布
2
2 2
( , )N
 
,
且
1 2
{| | 1} {| | 1},P X P Y
 
 
则
(A)
1 2
 
(B)
1 2
 
(C)
1 2
 
(D)
1 2
 
三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(15)(本题满分 10 分)
设区域 D=
 
 
2 2
, 1, 0x y x y x 
,计算二重积分
2 2
1
1
D
xy
I dxdy
x y
 
.
(16)(本题满分 12 分)
设数列
 
n
x
满足
 
1 1
0 , sin 1, 2,...
n
x x x n
 
.
求:(1)证明
lim
n
x
x

存在,并求之.
(2)计算
2
1
1
lim
n
x
n
xn
x
x
 
 
 
.
(17)(本题满分 12 分)
将函数
 
2
2
x
f x x x
 
展开成
x
の幂级数.
(18)(本题满分 12 分)
设 函 数
 
0, ,f u 在 内具有二阶导数 且
2 2
z f x y 
满 足 等 式
2 2
2 2 0
z z
x y
 
 
 
.
(1)验证
   
0
f u
f u u
 
.
(2)若
   
1 0, 1 1,f f
 
求函数
( )f u
の表达式.
(19)(本题满分 12 分)
设在上半平面
 
 
, 0D x y y 
内,数
 
,f x y
是有连续偏导数,且对任意の
0t
都
有
 
2
, ,f tx ty t f x y
.
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