2007考研数学三真题及答案
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2007 考研数学三真题及答案
一． 选择题（本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，
只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）
（1） 当 时，与 等价的无穷小量是（ ）
.
（2） 设函数 在 处连续，下列命题错误的是： ( )
.若 存在，则 若 存在，则
.若 存在，则 存在 若 存在，则 存
在
（3） 如图.连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 1 的上、下
半圆周，在区间 上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设
则下列结论正确的是：（ ）
.
（4） 设函数 连续，则二次积分 等于（ ）
（5） 设某商品的需求函数为 ，其中 ， 分别表示需要量和价格，如果
该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（ ）
10 20 30 40
（6） 曲线 渐近线的条数为（ ）
0 1 2 3
（7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是( )
（A） (B)
（C） (D)
1
（8）设矩阵 ， 则 A 与 B （ ）
（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰好第
2 次命中目标的概率为 ( )
(10) 设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示 X,
Y 的概率密度，则在 条件下， 的条件概率密度 为( )
（A） (B)
(C) (D)
二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11） .
（12）设函数 ，则 .
（13）设 是二元可微函数， 则 ________.
（14）微分方程 满足 的特解为__________.
（15）设距阵 则 的秩为_______.
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 的概率为________.
三、解答题：17－24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分 10 分）
设函数 由方程 确定，试判断曲线 在点（1，1）附近
2
的凹凸性.
（18）（本题满分 11 分）
设二元函数
计算二重积分 其中
（19）（本题满分 11 分）
设函数 ， 在 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 ＝ ，
＝ ，证明：
（Ⅰ）存在 使得 ；
（Ⅱ）存在 使得
（20）（本题满分 10 分）
将函数 展开成 的幂级数，并指出其收敛区间.
（22）（本题满分 11 分）
设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 是 A 的属于 的一
个特征向量.记 ，其中 E 为 3 阶单位矩阵.
（Ⅰ）验证 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵 B.
（23）（本题满分 11 分）
设二维随机变量 的概率密度为
（Ⅰ）求 ；
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