2008考研数学二真题及答案

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2008 考研数学二真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设 ，则 的零点个数为（ ）
0 1. 2 3
（2）曲线方程为 函数在区间 上有连续导数，则定积分 （ ）
曲边梯形 面积.
梯形 面积.
曲边三角形 面积.
三角形 面积.
（3）在下列微分方程中，以 （ 为任意常数）为
通解的是（ ）
（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
（6）设函数 连续，若 ，其中区域 为图中阴影部分，则
（7）设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵. 若 ，则（ ）
不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.
可逆， 可逆. 可逆， 不可逆.
（8）设 ，则在实数域上与 合同的矩阵为（ ）
. .
. .
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9） 已知函数 连续，且 ，则 .
（10）微分方程 的通解是 .
（11）曲线 在点 处的切线方程为 .
（12）曲线 的拐点坐标为______.
（13）设 ，则 .
（14）设 3 阶矩阵 的特征值为 .若行列式 ，则 .
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分 9 分）
求极限 .
(16)（本题满分 10 分）
设 函 数 由 参 数 方 程 确 定 ， 其 中 是 初 值 问 题
的解.求 .
(17)（本题满分 9 分）求积分 .
(18)（本题满分 11 分）
求二重积分 其中
(19)（本题满分 11 分）
设 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 .对任意的
，直线 ，曲线 以及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周
生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 的表达式.
(20)（本题满分 11 分）
(1) 证 明 积 分 中 值 定 理 ： 若 函 数 在 闭 区 间 上 连续 ， 则 至 少 存 在 一 点
，使得
(2)若函数 具有二阶导数，且满足 ，证明至少存在
一点
（21）（本题满分 11 分）
求函数 在约束条件 和 下的最大值与最小值.
（22）（本题满分 12 分）
设 矩 阵 ， 现 矩 阵 满 足 方 程 ， 其 中
， ，
（1）求证 ；
（2） 为何值，方程组有唯一解，并求 ；
（3） 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
（23）（本题满分 10 分）
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