2008考研数学三真题及答案

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2008 考研数学三真题及答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ）
跳跃间断点. 可去间断点.
无穷间断点. 振荡间断点.
（2）曲线段方程为 ，函数 在区间 上有连续的导数，则定积分
等于（ ）
曲边梯形 面积. 梯形 面积.
曲边三角形 面积. 三角形 面积.
（3）已知 ，则
（A） ， 都存在 （B） 不存在， 存在
（C） 不存在， 不存在 （D） ， 都不存在
（4）设函数 连续，若 ，其中 为图中阴影部分，则
（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）设 为阶非 0 矩阵 为阶单位矩阵若 ，则（ ）
不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.
可逆， 可逆. 可逆， 不可逆.
（6）设 则在实数域上域与 合同矩阵为（ ）
. .
. .
（7）随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为
（ ）
. .
. .
（8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ）
. .
. .
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数 在 内连续，则 .
（10）设 ，则 .
（11）设 ，则 .
（12）微分方程 满足条件 的解 .
（13）设 3 阶矩阵 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则 .
（14）设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 .
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
(15) （本题满分 10 分）
求极限 .
(16) （本题满分 10 分）
设 是由方程 所确定的函数，其中 具有 2 阶
导数且 时.
（1）求
（2）记 ，求 .
(17) （本题满分 11 分）
计算 其中 .
(18) （本题满分 10 分）
设 是周期为 2 的连续函数，
（1）证明对任意实数 ，有 ；
（2）证明 是周期为 2 的周期函数．
(19) （本题满分 10 分）
设银行存款的年利率为 ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元，
实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，…，第 n 年提取（10+9n）万元，并能按此
规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？
(20) （本题满分 12 分）
设 矩 阵 ， 现 矩 阵 满 足 方 程 ， 其 中
， ，
（1）求证 ;
（2） 为何值，方程组有唯一解;
（3） 为何值，方程组有无穷多解.
（21）（本题满分 10 分）
设 为 3 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足
，
证明（1） 线性无关；
（2）令 ，求 .
（22）（本题满分 11 分）
设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 的概
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